Một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài

Câu hỏi số 247835:

Vận dụng cao

Một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài bằng \(3\sqrt{2}\)cm. Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\) chia khối nón thành hai phần. Tính thể tích phần nhỏ hơn (Tính gần đúng đến hàng phần trăm).

A. \(4,36\,c{{m}^{3}}\).

B. \(5,37\,c{{m}^{3}}\).

C. \(5,61\,c{{m}^{3}}\).

D. \(4,53\,c{{m}^{3}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247835

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng.

- Lập tỉ lệ thể tích thông qua tỉ lệ diện tích đáy và tỉ lệ chiều cao.

Giải chi tiết

Xét hình nón (H) thỏa mãn yêu cầu đề bài, có một thiết diện qua trục là tam giác SAB.

Ta có: SAB cân tại S và là tam giác vuông cân \(\Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại đỉnh S.

Gọi O là trung điểm của AB \(\Rightarrow SO=OA=OB=\frac{SA}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\,\,(cm)\)

Thể tích hình nón (H): \(V=\frac{1}{3}SO.\pi .O{{A}^{2}}=\frac{1}{3}.3.\pi {{.3}^{2}}=9\pi \)

Gọi (P) là một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\), thiết diện của (P) với mặt đáy là tam giác cân SMN.

Gọi I là trung điểm của MN (hiển nhiên I không trùng O), suy ra \(IO\bot MN\)

Mà \(SO\bot MN\), (vì \(SO\bot \) đáy).

\(\Rightarrow MN\bot (SIO)\) \(\Rightarrow \left( \widehat{(P),(ABI)} \right)=\widehat{OIS}={{60}^{0}}\) .

Tam giác SIO vuông tại O \(\Rightarrow IO=\frac{SO}{\tan \widehat{SIO}}=\frac{SO}{\tan {{60}^{0}}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\,\,(cm)\)

Gọi \({{V}_{0}}\) là thể tích của phần nhỏ hơn. Ta có: \(\frac{{{V}_{0}}}{V}=\frac{\frac{1}{3}{{S}_{0}}.h}{\frac{1}{3}S.h}=\frac{{{S}_{0}}}{S}\Rightarrow {{V}_{0}}=V.\frac{{{S}_{0}}}{S}\)

*) Tính diện tích đáy của phần có thể tích nhỏ hơn:

Diện tích hình tròn \(S=\pi O{{A}^{2}}=\pi {{.3}^{2}}=9\pi \)

\({{S}_{0}}=2{{S}_{1}}=2\int\limits_{\sqrt{3}}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}\)

Đặt \(x=3\sin t\Rightarrow dx=3\cos tdt\)

Đổi cận:

\(\begin{align} & x=\sqrt{3}\to t=arc\,\sin \frac{1}{\sqrt{3}} \\ & x=3\,\,\,\,\,\,\to t=\frac{\pi }{2} \\\end{align}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{S}_{0}}=2\int\limits_{\sqrt{3}}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}=2\int\limits_{a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{9-9{{\sin }^{2}}t}.3\cos t.dt}=18\int\limits_{a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}t.dt}=18\int\limits_{a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1+\cos 2t}{2}.dt}=\left. \left( 9t+\frac{9}{2}\sin 2t \right) \right|_{a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{\pi }{2}} \\ & =\frac{9\pi }{2}-9a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{9}{2}\sin (2a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}) \\\end{align}\)\(\begin{align} & \Rightarrow \frac{{{S}_{0}}}{S}=\frac{\frac{9\pi }{2}-9a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{9}{2}\sin (2a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}})}{9\pi } \\ & \Rightarrow {{V}_{0}}=V.\frac{{{S}_{0}}}{S}=9\pi .\frac{\frac{9\pi }{2}-9a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{9}{2}\sin (2a\,rc\sin \frac{1}{\sqrt{3}})}{9\pi }\approx 4,36\,(c{{m}^{3}}) \\\end{align}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.