Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1) có tâm I (2;1;1) bán kính bằng 4

Câu hỏi số 247878:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S₁) có tâm I (2;1;1) bán kính bằng 4 và mặt cầu (S₂) có tâm J (2;1;5) bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S₁), (S₂). Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M+m bằng

A. 8

B. \(8\sqrt{3}\)

C. 9

D. \(\sqrt{15}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247878

Phương pháp giải

Tìm toạ độ M là giao điểm của (P) và IJ.

Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {a,b,c} \right)\). Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M

Từ \(\dfrac{{d\left( {I,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {J,\left( P \right)} \right)}} = 2\) tìm quan hệ a, b, c ta được phương trình (1)

Tính \(d\left( {O,\left( P \right)} \right)\) theo a,b,c và thay vào (1) đưa về phương trình bậc hai tìm điều kiện có nghiệm từ đó suy ra min, max

Giải chi tiết

Giả sử (P) tiếp xúc với (S₁), (S₂) lần lượt tại A,B

Gọi \(IJ\cap \left( P \right)=M\) ta kiểm tra được J là trung điểm IM do \(\dfrac{IA}{JB}=\dfrac{MI}{MJ}=2\) suy ra \(M\left( 2;1;9 \right)\)

Gọi \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right),\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)\) suy ra \(\left( P \right):\,a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & d\left( I;\left( P \right) \right)={{R}_{1}}=4 \\ & d\left( J;\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{c} \right)}^{2}}=3\left( 1 \right)\)

Ta có: \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}+9 \right|\)

Đặt \(t=\dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}\) ta được \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left| t+9 \right|\)

Thay \(\dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}\) vào (1) ta thu được \({{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{2a}{c} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}-4\dfrac{a}{c}t+{{t}^{2}}-3=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(4{{t}^{2}}-5{{t}^{2}}+15\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}\Leftrightarrow 0<9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}\)

Suy ra \(\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O;\left( P \right) \right)\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M=\dfrac{9+\sqrt{15}}{2};m=\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\)

Suy ra \(M+m=9\) .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.