Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\ge

Câu hỏi số 250916:

Vận dụng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\ge 4x-15+4\sqrt{{{x}^{2}}-4}\)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250916

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ của tổng hai căn, biến đổi ra tích, đưa về giải bất phương trình cơ bản

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x\ge 2.\) Đặt \(t=\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}=2x+2\sqrt{{{x}^{2}}-4}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}=4x+4\sqrt{{{x}^{2}}-4}.\)

Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với: \(t\ge 2{{t}^{2}}-15\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-15\le 0\Leftrightarrow -\,\frac{5}{2}\le t\le 3.\)

Kết hợp điều kiện \(t\ge 0,\) ta được

\(0 \le t \le 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {x + 2} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2x + 2\sqrt {{x^2} - 4} \le 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2\sqrt {{x^2} - 4} \le 9 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \frac{9}{2}\\4\left( {{x^2} - 4} \right) \le {\left( {9 - 2x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \frac{9}{2}\\4{x^2} - 16 \le 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le \frac{{97}}{{36}}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ 2;\frac{97}{36} \right]\) chứa nghiệm nguyên duy nhất \(x=2.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.