Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\ge

Câu hỏi số 250916:

Vận dụng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\ge 4x-15+4\sqrt{{{x}^{2}}-4}\)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250916

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ của tổng hai căn, biến đổi ra tích, đưa về giải bất phương trình cơ bản

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x\ge 2.\) Đặt \(t=\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}=2x+2\sqrt{{{x}^{2}}-4}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}=4x+4\sqrt{{{x}^{2}}-4}.\)

Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với: \(t\ge 2{{t}^{2}}-15\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-15\le 0\Leftrightarrow -\,\frac{5}{2}\le t\le 3.\)

Kết hợp điều kiện \(t\ge 0,\) ta được

\(0 \le t \le 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {x + 2} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2x + 2\sqrt {{x^2} - 4} \le 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2\sqrt {{x^2} - 4} \le 9 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \frac{9}{2}\\4\left( {{x^2} - 4} \right) \le {\left( {9 - 2x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \frac{9}{2}\\4{x^2} - 16 \le 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le \frac{{97}}{{36}}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ 2;\frac{97}{36} \right]\) chứa nghiệm nguyên duy nhất \(x=2.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10