Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\) có đồ thị \((C)\). Tìm giá trị thực của tham số k để

Câu hỏi số 252119:

Vận dụng

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\) có đồ thị \((C)\). Tìm giá trị thực của tham số k để tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt với đồ thị \((C)\) có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với \((C)\) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2018OA.

6054.

6024.

6012.

D. 6042.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252119

Giải chi tiết

TXĐ: \(D=R\)

\(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}+6x+9\)

Gọi \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\), (\({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\)) là 2 tiếp điểm.

\(M,N\in \left( C \right)\Rightarrow {{y}_{1}}={{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3,\,\,\,{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3\)

Tiếp tuyến tại M, N của (C) có hệ số góc đều bằng k \(\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=3{{x}_{2}}^{2}+6{{x}_{2}}+9=k\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-{{x}_{1}}-2\)

Theo đề bài, ta có: OB = 2018OA \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc bằng 2018 hoặc – 2018.

TH1: Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc là 2018 \(\Rightarrow \frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=2018\Leftrightarrow {{y}_{2}}-{{y}_{1}}=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\)

\(\begin{align} \Leftrightarrow \left( {{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3 \right)-\left( {{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3 \right)=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}}) \\ \Leftrightarrow ({{x}_{2}}-{{x}_{1}})({{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009)=0 \\ \Leftrightarrow {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009=0,\,\,do\,\,{{x}_{2}}\ne {{x}_{1}} \\ \Leftrightarrow {{({{x}_{2}}+{{x}_{1}})}^{2}}+3({{x}_{2}}+{{x}_{1}})-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0 \\ \Rightarrow {{(-2)}^{2}}+3.(-2)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2011 \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}+2X-2011=0\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-2011=0\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)

\(\Rightarrow k=3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)

TH2: MN có hệ số góc là 2018. Dễ đang kiểm rằng : Không có giá trị của \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn.

Vậy k = 6042.

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.