Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c)\) với a, b, c là những số thực

Câu hỏi số 252120:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c)\) với a, b, c là những số thực dương thay đổi sao cho \({{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}=49\). Tính tổng \(F={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\) sao cho khoảng cách từ O đến (ABC) là lớn nhất.

\(F=\frac{51}{5}\).

\(F=\frac{51}{4}\).

\(F=\frac{49}{5}\).

D. \(\frac{49}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252120

Phương pháp giải

- Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c)\), (a,b,c khác 0):

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

- Sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}+\frac{{{z}^{2}}}{c}\ge \frac{{{(x+y+z)}^{2}}}{a+b+c},\,\,\,\forall a,b,c,x,y,z>0\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Giải chi tiết

\(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c),\,\,(a,b,c>0)\). Mặt phẳng (ABC) có phương trình: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).

Khoảng cách từ O đến (ABC): \(h=\frac{\left| \frac{0}{a}+\frac{0}{b}+\frac{0}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}\)

Ta có:

\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{{{2}^{2}}}{4{{b}^{2}}}+\frac{{{4}^{2}}}{16{{c}^{2}}}\ge \frac{{{(1+2+4)}^{2}}}{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}}=\frac{{{7}^{2}}}{49}=1\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{4{b^2}}} = \frac{4}{{16{c^2}}}\\{a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{4{b^2}}} = \frac{4}{{16{c^2}}} = \frac{7}{{{a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}}} = \frac{7}{{49}} = \frac{1}{7} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 7\\{b^2} = \frac{7}{2}\\{c^2} = \frac{7}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow F = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4} = \frac{{49}}{4}\end{array}\)

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.