Tổng các nghiệm của phương trình \({{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=14\)

Câu hỏi số 252565:

Thông hiểu

Tổng các nghiệm của phương trình \({{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=14\) bằng

A. 2

B. 4

C. -2

D. 0

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252565

Phương pháp giải

Đặt \({{(2+\sqrt{3})}^{x}}=t,\,\,t>0\). Do \({{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}={{1}^{x}}=1\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\) . Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình ẩn t.

Giải chi tiết

Đặt \({{(2+\sqrt{3})}^{x}}=t,\,\,t>0\) \(\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\) . Phương trình đã cho trở thành:

\(t+\frac{1}{t}=14\Leftrightarrow {{t}^{2}}-14t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} t=7+4\sqrt{3} \\ t=7-4\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)

\(t=7+4\sqrt{3}\Rightarrow {{(2+\sqrt{3})}^{x}}=7+4\sqrt{3}={{(2+\sqrt{3})}^{2}}\Rightarrow x=2\)

\(t=7-4\sqrt{3}\Rightarrow {{(2+\sqrt{3})}^{x}}=7-4\sqrt{3}={{(2-\sqrt{3})}^{2}}\Rightarrow x=-2\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho \(S=\left\{ -2;2 \right\}\). Tổng các nghiệm của phương trình là: \((-2)+2=0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.