Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}\) và

Câu hỏi số 252564:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}\). Đường vuông góc chung của \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) lần lượt cắt \({{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}\) tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng

A. \(\frac{\sqrt{6}}{4}\).

B. \(\frac{\sqrt{6}}{2}\).

C. \(\sqrt{6}\).

D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252564

Phương pháp giải

Công thức tính diện tích tam giác ΔABC trong hệ tọa độ Oxyz là: \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|\)

Giải chi tiết

\({{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}\) có phương trình tham số : \(\left\{ \begin{align} x=1+2{{t}_{1}} \\ y=-{{t}_{1}} \\ z=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.\), có 1 VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 2;-1;1 \right)\).

\({{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}\) có phương trình tham số : \(\left\{ \begin{align} x=-1+{{t}_{2}} \\ y=1+7{{t}_{2}} \\ z=3-{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.\), có 1 VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;7;-1 \right)\).

\(A\in {{d}_{1}},\,\,B\in {{d}_{2}}\Rightarrow \) Gọi \(A(1+2{{t}_{1}};-{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}),\,\,B(-1+{{t}_{2}};1+7{{t}_{2}};3-{{t}_{2}})\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( {{t}_{2}}-2{{t}_{1}}-2;7{{t}_{2}}+{{t}_{1}}+1;\,-{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+5 \right)\)

AB là đường vuông góc chung của \({{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2({t_2} - 2{t_1} - 2) - 1(7{t_2} + {t_1} + 1) + 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\\1({t_2} - 2{t_1} - 2) + 7(7{t_2} + {t_1} + 1) - 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6{t_2} - 6{t_1} = 0\\51{t_2} + 6{t_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_1} = {t_2} = 0\)

\(\Rightarrow A(1;0;-2),\,\,B(-1;1;3)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=(1;0;-2),\,\,\overrightarrow{OB}=(-1;1;3)\)

Diện tích tam giác OAB: \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( 2;-1;1 \right) \right|=\frac{\sqrt{6}}{2}\)\(\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.