Tập hợp các giá trị của m để phương trình \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3}

Câu hỏi số 252567:

Vận dụng cao

Tập hợp các giá trị của m để phương trình \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=m\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}} \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ 0;1 \right]\) là \(\left[ a;b \right]\). Giá trị của \(a+b\) là

A. \(\frac{4}{3}\).

B. \(2\).

C. \(\frac{12}{101}\).

D. \(\frac{121}{108}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252567

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết

\({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=m\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}} \right)\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}}{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}}\) (1)

Xét hàm số \(y=\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}}{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}}=\frac{{{2}^{-x}}+{{3}^{-x}}+{{4}^{-x}}}{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}}\) trên \(\left[ 0;1 \right]\):

\(y'=\frac{-\left( {{2}^{-x}}\ln 2+{{3}^{-x}}\ln 3+{{4}^{-x}}\ln 4 \right)\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}} \right)-\left( {{2}^{-x}}+{{3}^{-x}}+{{4}^{-x}} \right)\left( {{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3+{{4}^{x}}\ln 4 \right)}{{{\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}} \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\)

\(\Rightarrow \)Hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;1 \right]\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Min}}\,y=y(1)=\frac{13}{108} \\ \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) Phương trình (1) có nghiệm trên \(\left[ 0;1 \right]\)\(\Leftrightarrow m\in \left[ \frac{13}{108};1 \right]\Rightarrow a=\frac{13}{108},\,\,b=1\Rightarrow a+b=\frac{121}{108}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.