Cho \(F\left( x \right)=\frac{a}{x}\left( \ln x+b \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x

Câu hỏi số 253456:

Thông hiểu

Cho \(F\left( x \right)=\frac{a}{x}\left( \ln x+b \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1+\ln x}{{{x}^{2}}}\), trong đó \(a,b\in Z\). Tính \(S=a+b\)

A. \(S=2\)

B. \(S=0\)

C. \(S=-2\)

D. \(S=1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:253456

Phương pháp giải

Tách \(F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1+\ln x}{{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}+\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{\ln xdx}{{{x}^{2}}}}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)

Sử dụng phương pháp từng phần tính \({{I}_{2}}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{1 + \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} + \int\limits_{}^{} {\frac{{\ln xdx}}{{{x^2}}}} = {I_1} + {I_2}\\{I_1} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = - \frac{1}{x} + {C_1}\\{I_2} = \int\limits_{}^{} {\frac{{\ln xdx}}{{{x^2}}}} = \int\limits_{}^{} {\ln xd\left( {\frac{{ - 1}}{x}} \right)dx} = - \frac{1}{x}\ln x + \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + {C_2}\\ \Rightarrow F\left( x \right) = - \frac{1}{x} - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + C = - \frac{2}{x} - \frac{1}{x}\ln x + C = \frac{{ - 1}}{x}\left( {\ln x + 2} \right) + C = \frac{a}{x}\left( {\ln x + b} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\C = 0\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b = - 1 + 2 = 1\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.