Cho \(F\left( x \right)=\frac{a}{x}\left( \ln x+b \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1+\ln x}{{{x}^{2}}}\), trong đó \(a,b\in Z\). Tính \(S=a+b\)

Câu 253456: Cho \(F\left( x \right)=\frac{a}{x}\left( \ln x+b \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1+\ln x}{{{x}^{2}}}\), trong đó \(a,b\in Z\). Tính \(S=a+b\)

A. \(S=2\)

B. \(S=0\)

C. \(S=-2\)

D. \(S=1\)

Câu hỏi : 253456

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tách \(F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1+\ln x}{{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}+\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{\ln xdx}{{{x}^{2}}}}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)

Sử dụng phương pháp từng phần tính \({{I}_{2}}\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{1 + \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} + \int\limits_{}^{} {\frac{{\ln xdx}}{{{x^2}}}} = {I_1} + {I_2}\\{I_1} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = - \frac{1}{x} + {C_1}\\{I_2} = \int\limits_{}^{} {\frac{{\ln xdx}}{{{x^2}}}} = \int\limits_{}^{} {\ln xd\left( {\frac{{ - 1}}{x}} \right)dx} = - \frac{1}{x}\ln x + \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + {C_2}\\ \Rightarrow F\left( x \right) = - \frac{1}{x} - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + C = - \frac{2}{x} - \frac{1}{x}\ln x + C = \frac{{ - 1}}{x}\left( {\ln x + 2} \right) + C = \frac{a}{x}\left( {\ln x + b} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\C = 0\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b = - 1 + 2 = 1\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.