Cho tam giác SOA vuông tại O có MN // SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình vẽ bên.

Câu hỏi số 253467:

Vận dụng

Cho tam giác SOA vuông tại O có MN // SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình vẽ bên. Đặt \(SO=h\) không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình hón S có đáy là hình tròn tâm O bán kính \(R=OA\). Tìm độ dài MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất.

A. \(MN=\frac{h}{2}\)

B. \(MN=\frac{h}{3}\)

C. \(MN=\frac{h}{4}\)

D. \(MN=\frac{h}{6}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:253467

Phương pháp giải

Đặt \(OM=x\), tính MN theo h, R, x.

Tính thể tích khối trụ \({{V}_{tru}}=\pi {{R}^{2}}h\) trong đó \(R,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cảo của khối trụ, tìm GTLN của thể tích đó.

Giải chi tiết

Khi quay hình bên quanh cạnh SO ta được khối trụ đường cao MN, bán kính đáy OM nội tiếp khối nón đỉnh S, đường cao SO, bán kính đáy \(R=OA\).

Đặt \(OM=x\,\,\left( 0<x\le R \right)\) ta có:

\(\frac{MN}{h}=\frac{AM}{R}\Rightarrow \frac{h-MN}{h}=\frac{OA-AM}{R}=\frac{x}{R}\Rightarrow h-MN=h\frac{x}{R}\Leftrightarrow MN=h\left( 1-\frac{x}{R} \right)\)

\(\Rightarrow {{V}_{tru}}=\pi O{{M}^{2}}.MN=\pi .{{x}^{2}}.h\left( 1-\frac{x}{R} \right)=\frac{\pi h}{R}{{x}^{2}}\left( R-x \right)\)

Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\left( R-x \right)=R{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\) ta có \(f'\left( x \right)=2Rx-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0\,\,\,\left( ktm \right) \\ x=\frac{2R}{3}\,\,\left( tm \right) \\ \end{align} \right.\)

Dễ thấy \(\underset{\left( 0;R \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{2R}{3} \right)\Leftrightarrow x=\frac{2R}{3}=OM\)

\(\Rightarrow MN=h\left( 1-\frac{\frac{2R}{3}}{R} \right)=\frac{h}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.