Cho tam giác SOA vuông tại O có MN // SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình vẽ bên.
Cho tam giác SOA vuông tại O có MN // SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình vẽ bên. Đặt \(SO=h\) không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình hón S có đáy là hình tròn tâm O bán kính \(R=OA\). Tìm độ dài MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt \(OM=x\), tính MN theo h, R, x.
Tính thể tích khối trụ \({{V}_{tru}}=\pi {{R}^{2}}h\) trong đó \(R,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cảo của khối trụ, tìm GTLN của thể tích đó.
Khi quay hình bên quanh cạnh SO ta được khối trụ đường cao MN, bán kính đáy OM nội tiếp khối nón đỉnh S, đường cao SO, bán kính đáy \(R=OA\).
Đặt \(OM=x\,\,\left( 0<x\le R \right)\) ta có:
\(\frac{MN}{h}=\frac{AM}{R}\Rightarrow \frac{h-MN}{h}=\frac{OA-AM}{R}=\frac{x}{R}\Rightarrow h-MN=h\frac{x}{R}\Leftrightarrow MN=h\left( 1-\frac{x}{R} \right)\)
\(\Rightarrow {{V}_{tru}}=\pi O{{M}^{2}}.MN=\pi .{{x}^{2}}.h\left( 1-\frac{x}{R} \right)=\frac{\pi h}{R}{{x}^{2}}\left( R-x \right)\)
Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\left( R-x \right)=R{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\) ta có \(f'\left( x \right)=2Rx-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0\,\,\,\left( ktm \right) \\ x=\frac{2R}{3}\,\,\left( tm \right) \\ \end{align} \right.\)
Dễ thấy \(\underset{\left( 0;R \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{2R}{3} \right)\Leftrightarrow x=\frac{2R}{3}=OM\)
\(\Rightarrow MN=h\left( 1-\frac{\frac{2R}{3}}{R} \right)=\frac{h}{3}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
