Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}4x=m\) có
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}4x=m\) có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right]\)?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đưa phương trình về dạng chỉ chứa biến cos4x, sử dụn các công thức nhân đôi, hạ bậc, hằng đẳng thức.
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
\(\begin{align} {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}4x={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}4x \\ =1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}4x=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4x}{2}+{{\cos }^{2}}4x={{\cos }^{2}}4x+\frac{\cos 4x}{4}+\frac{3}{4}=m \\ \end{align}\)
Đặt \(t=\cos 4x,\,\,t\in \left[ -1;1 \right]\) ta có \(f\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{1}{4}t+\frac{3}{4}=m\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\left( t\in \left[ -1;1 \right] \right)\)
BBT:
*) TH1 : Phương trình (1) có 1 nghiệm \(\Rightarrow m=\frac{47}{64}\) hoặc \(\frac{3}{2}<m\le 2\)
\(\Rightarrow t={{x}_{0}}\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow \cos 4x={{x}_{0}}\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{4}\arccos {{x}_{0}}+\frac{k\pi }{2}\)
Với chu kì \(\frac{\pi }{2}\) thì nghiệm \(x=\pm \frac{1}{4}\arccos {{x}_{0}}+\frac{k\pi }{2}\) có tối đa 2 nghiệm thuộc \(\left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right]\) , loại.
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow \frac{47}{64}<m\le \frac{3}{2}\). Đương nhiên TH phương trình (1) vô nghiệm ta không cần xét đến, vì ta cần tìm điều kiện để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thuộc \(\left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right]\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
