Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CMN và SMN.
+) Dựng trục của hai mặt phẳng (CMN) và (SMN), giao điểm của hai trục chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.
Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\).
Gọi F là trung điểm của MN, \(\Delta CMN\) vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CMN\)
Qua F kẻ \({{d}_{1}}//SH\Rightarrow {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right)\)
Ta có:
\(\begin{align} HN=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SN=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\ MN=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2} \\ SM=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2} \\ \Rightarrow S{{N}^{2}}+M{{N}^{2}}=S{{M}^{2}} \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \Delta SMN\) vuông tại N.
Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ \({{d}_{2}}\bot \left( SMN \right)\) sao cho \({{d}_{2}}\cap {{d}_{1}}=I\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.
Dễ thấy \(\Delta HMN\) vuông cân tại N
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot HN\\MN \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow MN \bot SN\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SMN} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;HN} \right)} = \widehat {SNH}\end{array}\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right) \\ {{d}_{2}}\bot \left( SMN \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}=\widehat{\left( \left( SMN \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SNH}=\widehat{EIF}<{{90}^{0}}\)
Ta có : \(\tan \widehat{SNH}=\frac{SH}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\tan \widehat{EIF}\)
Có \(EI\bot \left( SMN \right)\Rightarrow EI\bot EF\Leftrightarrow \Delta EIF\) vuông tại E \(\Rightarrow IE=\frac{EF}{\tan \widehat{EIF}}=\frac{SN}{2\tan \widehat{EIF}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{30}}{12}\)
Xét tam giác vuông SIE có \(IS=\sqrt{I{{E}^{2}}+S{{E}^{2}}}=\sqrt{I{{E}^{2}}+\frac{S{{M}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{93}}{12}=R\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
