Phương trình \(2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\) có bao nhiêu nghiệm

Câu hỏi số 253471:

Vận dụng

Phương trình \(2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( 0;2018\pi \right)\) ?

A. 2017 nghiệm

B. 2018 nghiệm

C. 1008 nghiệm

D. 1009 nghiệm

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:253471

Phương pháp giải

Đặt \(2{{\log }_{3}}\left( \cot x \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{align} \cot x={{3}^{\frac{t}{2}}} \\ \cos x={{2}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sin x=\frac{{{2}^{t}}}{{{3}^{\frac{t}{2}}}}={{\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)}^{t}}\)

Sử dụng tính chất \({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1\)

Giải chi tiết

\(DK:\left\{ \begin{array}{l}\cot x > 0\\\cos x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x > 0\\\sin x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)

Ta có \({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}=1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{t}}+{{4}^{t}}\) có \(f'\left( t \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{t}}\ln \frac{4}{3}+{{4}^{t}}\ln 4>0\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R.

\(f\left( t \right)=1=f\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\,\,\left( tm \right)\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

Kết hợp điều kiện \(\sin x>0\) ta có \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

\(\frac{\pi }{3}+k2\pi \in \left( 0;2018\pi \right)\Rightarrow 0\le \frac{\pi }{3}+k2\pi \le 2018\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{6}\le k\le \frac{6053}{6}\overset{k\in Z}{\mathop{\Rightarrow }}\,k\in \left\{ 0;1;2;3;...;1008 \right\}\)

Vậy có 1009 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.