Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn điều kiện \(0<b<a<1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 254597:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn điều kiện \(0<b<a<1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\log }_{a}}\dfrac{4\left( 3b-1 \right)}{9}+8\log _{\frac{b}{a}}^{2}a-1.\)

A. \(6\)

\(3\sqrt[3]{2}.\)

\(8.\)

D. \(7.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254597

Phương pháp giải

Chứng minh \(\frac{4\left( 3b-1 \right)}{9}\le {{b}^{2}}\)

Biến đổi và đặt \(t={{\log }_{a}}b\), đưa về hàm số \(f\left( t \right)\) và tìm GTLN của hàm số đó.

Giải chi tiết

\(\begin{align} {{\left( 3b-2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 9{{b}^{2}}-12b+4\ge 0\Leftrightarrow 4\left( 3b-1 \right)\le 9{{b}^{2}}\Leftrightarrow \frac{4\left( 3b-1 \right)}{9}\le {{b}^{2}} \\ \Rightarrow {{\log }_{a}}\frac{4\left( 3b-1 \right)}{9}\le {{\log }_{a}}{{b}^{2}}=2{{\log }_{a}}b \\ 8\log _{\frac{b}{a}}^{2}a=\frac{8}{\log _{a}^{2}\frac{b}{a}}=\frac{8}{{{\left( {{\log }_{a}}b-1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

Đặt \(t={{\log }_{a}}b\) ta có \(P\le 2t+\frac{8}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}-1=f\left( t \right)\)

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có : \(f'\left( t \right)=2-\frac{16}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}=0\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow t=3\)

\(f\left( 3 \right)=2.3+\frac{8}{{{2}^{2}}}-1=7\Rightarrow f\left( t \right)\le 7\Rightarrow P\le 7\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.