Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(a\). Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các

Câu hỏi số 254604:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(a\). Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ABC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V. Tính V.

\(V=\frac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}.\)

\(V=\frac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}.\)

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}.\)

D. \(V=\frac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{80}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254604

Phương pháp giải

Xác định thiết diện, sử dụng công thức tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Trong (ABD) kéo dài EM cắt AB tại G, cắt AD tại I.

Trong (ABC) kéo dài GN cắt AC tại H.

Khi đó thiết diện của khối tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (EMN) là tam giác GHI.

(GHI) chia khối tứ diện thành hai phần là \(A.GHI\) và \(GHI.BCD\).

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BD và BC.

Kéo dài GH cắt BC tại F.

Áp dụng định lí Menelaus:

Trong tam giác APD có: \(\frac{MA}{MP}.\frac{EP}{ED}.\frac{ID}{IA}=1\Leftrightarrow 2.\frac{3}{2}.\frac{ID}{IA}=1\Leftrightarrow \frac{ID}{IA}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{3}{4}\)

Trong tam giác ABD có: \(\frac{GA}{GB}.\frac{EB}{ED}.\frac{ID}{IA}=1\Leftrightarrow \frac{GA}{GB}.2.\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow \frac{GA}{GB}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{AG}{AB}=\frac{3}{5}\)

Trong tam giác ABQ có: \(\frac{GA}{GB}.\frac{FB}{FQ}.\frac{NQ}{NA}=1\Leftrightarrow \frac{FB}{FQ}.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{FB}{FQ}=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{BQ}{BF}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{BC}{BF}=\frac{1}{2}\Rightarrow C\) là trung điểm của BF \(\Rightarrow CD//EF\)

\(\left\{ \begin{align} \left( GHI \right)\cap \left( BCD \right)=EF \\ \left( GHI \right)\cap \left( ACD \right)=HI \\ \left( BCD \right)\cap \left( ACD \right)=CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow EF//HI//CD\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AI}{AD}=\frac{3}{4}\)

Vậy \(\frac{{{V}_{A.GHI}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\frac{AG}{AB}.\frac{AH}{AC}.\frac{AI}{AD}=\frac{3}{5}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{27}{80}\)

Thể tích tứ diện đều cạnh a \({{V}_{A.BCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\Rightarrow {{V}_{A.GHI}}=\frac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}\) .

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.