Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\left[ 0;+\infty \right)\) và

Câu hỏi số 254993:

Vận dụng

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\left[ 0;+\infty \right)\) và \(\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f(t)dt}=x\sin (\pi x)\). Tính \(f(4)\).

\(f(4)=\frac{\pi -1}{4}\).

\(f(4)=\frac{\pi }{2}\).

\(f(4)=\frac{1}{2}\).

D. \(f(4)=\frac{\pi }{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254993

Phương pháp giải

\(F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Đặt \(F\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt}=x\sin \left( \pi x \right)\Leftrightarrow F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right)=x\sin \left( \pi x \right)\Leftrightarrow F\left( {{x}^{2}} \right)=F\left( 0 \right)+x\sin \left( \pi x \right)\)

Lấy đạo hàm hai vế ta có

\(\begin{align} \,\,\,\,\left( F\left( {{x}^{2}} \right) \right)'=\sin \left( \pi x \right)+\pi x\cos \left( \pi x \right)+\left( F\left( 0 \right) \right)' \\ \Leftrightarrow 2xf\left( {{x}^{2}} \right)=\sin \left( \pi x \right)+\pi x\cos \left( \pi x \right) \\ \end{align}\)

Thay \(x=2\) ta có \(2.2.f\left( 4 \right)=\sin \left( 2\pi \right)+2\pi \cos \left( 2\pi \right)\Leftrightarrow 4f\left( 4 \right)=2\pi \Leftrightarrow f\left( 4 \right)=\frac{\pi }{2}\)

Chọn: B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.