Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phương trình \({{\cos }^{2}}x+\sqrt{m+\cos x}=m\) có

Câu hỏi số 255458:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phương trình \({{\cos }^{2}}x+\sqrt{m+\cos x}=m\) có nghiệm thực ?

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255458

Phương pháp giải

Đưa về phương trình lượng giác cơ bản, biện luận tìm tham số m

Giải chi tiết

Ta có \({{\cos }^{2}}x+\sqrt{\cos x+m}=m\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x+\cos x-{{\left( \sqrt{\cos x+m} \right)}^{2}}+\sqrt{\cos x+m}=0\) \(\Leftrightarrow \left( \cos x-\sqrt{\cos x+m} \right)\left( \cos x+\sqrt{\cos x+m} \right)+\cos x+\sqrt{\cos x+m}=0\) \(\Leftrightarrow \left( \cos x-\sqrt{\cos x+m}+1 \right)\left( \cos x+\sqrt{\cos x+m} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{\cos x+m}=\cos x+1 \\ & \sqrt{\cos x+m}=-\,\cos x \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t=\cos x\in \left[ -\,1;1 \right],\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{t+m}=t+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \sqrt{t+m}=-\,t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right..\)

Giải \(\left( 1 \right),\) ta có \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow m={{t}^{2}}+t+1\) có nghiệm \(t\in \left[ -\,1;1 \right]\)\(\Leftrightarrow \)\(\frac{3}{4}\le m\le 3.\)

Giải \(\left( 2 \right),\) ta có \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow m={{t}^{2}}-t\) có nghiệm \(t\in \left[ -\,1;1 \right]\)\(\Leftrightarrow \)\(-\,\frac{1}{4}\le m\le 2.\)

Kết hợp với \(m\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\) ta được \(m=\left\{ 1;\,\,2;\,\,3 \right\}\) là các giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.