Cho các số phức \({{z}_{1}}=-3i;\,\,{{z}_{2}}=4+i\) và z thỏa mãn \(\left| z-i \right|=2\). Biểu thức
Cho các số phức \({{z}_{1}}=-3i;\,\,{{z}_{2}}=4+i\) và z thỏa mãn \(\left| z-i \right|=2\). Biểu thức \(T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+2\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(z=a+bi\,\,\left( a;b\in R \right)\). Hiệu \(a-b\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Biểu diễn trên mặt phẳng phức.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi \(A\left( 0;-3 \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}};\,\,B\left( 4;1 \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{2}};\,\,I\left( 0;1 \right)\) là điểm biểu diễn số phức i và M là điểm biểu diễn cho số phức z.
Theo đề bài ta có \(\left| z-i \right|=2\Rightarrow MI=2\Rightarrow \) M thuộc đường tròn tâm I bán kính R = 2.
\(T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+2\left| z-{{z}_{2}} \right|=MA+2MB\).
Ta có IM = 2, IO = 1, IA = 4 \(\Rightarrow I{{M}^{2}}=IA.IO\Leftrightarrow \frac{IM}{IA}=\frac{IO}{IM}\).
Do đó tam giác IMO đồng dạng với tam giác IAM \(\Rightarrow \frac{IM}{IA}=\frac{OM}{AM}=\frac{1}{2}\Rightarrow MA=2MO\)
\(\Rightarrow T=MA+2MB=2MO+2MB=2\left( MO+MB \right)\ge 2OB\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của OB và (I) \(\Leftrightarrow M\equiv E\).
\(O\left( 0;0 \right);\,\,B\left( 4;1 \right)\Rightarrow \) Phương trình OB là \(y=\frac{1}{4}x\,\,\left( d \right);\,\,E\in d\Rightarrow E\left( 4m;m \right)\,\,\,\left( m>0 \right)\).
Vì \(E\in \left( I \right)\Rightarrow IE=2\Rightarrow {{\left( 4m \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow 17{{m}^{2}}-2m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{1+2\sqrt{13}}{17}\,\,\left( m>0 \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} a=4m \\ b=m \\ \end{align} \right.\Rightarrow a-b=3m=\frac{3+6\sqrt{13}}{17}\).
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
