Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) và

Câu hỏi số 257219:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) và thỏa mãn \({{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-f\left( x \right)f''\left( x \right)+{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}=0\). Biết \(f\left( 0 \right)=1;\,\,f\left( 2 \right)={{e}^{6}}\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng:

\({{e}^{2}}\)

\({{e}^{\frac{3}{2}}}\)

\({{e}^{3}}\)

D. \({{e}^{\frac{5}{2}}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257219

Phương pháp giải

Đặt \(f\left( x \right)={{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\), dựa vào các dữ kiện đã cho, tìm a, b, c. Từ đó tính \(f\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Giả sử \(f\left( x \right)={{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\) ta có:

\(\begin{align} f'\left( x \right)=\left( 2ax+b \right){{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}};f''\left( x \right)=2a.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}+{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \\ \Rightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-f\left( x \right)f''\left( x \right)+{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left( {{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right)}^{2}}-{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\left[ 2a.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}+{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right]+{{\left[ \left( 2ax+b \right){{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right]}^{2}} \\ ={{\left( {{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right)}^{2}}\left[ 1-2a \right]=0\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Leftrightarrow a=\frac{1}{2} \\ \end{align}\)Khi đó hàm số có dạng \(f\left( x \right)={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{2}}+bx+c}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {e^c} = 1\\f\left( 2 \right) = {e^{2 + 2b + c}} = {e^6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{1}{2}{x^2} + 2x}} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^{\frac{5}{2}}}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.