Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 6;0;0 \right);\,\,B\left( 0;6;0 \right);\,\,C\left( 0;0;6 \right)\).

Câu hỏi số 257218:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 6;0;0 \right);\,\,B\left( 0;6;0 \right);\,\,C\left( 0;0;6 \right)\). Hai mặt cầu có phương trình \(\left( {{S}_{1}} \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0\) và \(\left( {{S}_{2}} \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0\) cắt nhau theo đường tròn (C). Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA?

\(4\)

Vô số

\(1\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257218

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (C) \(\Rightarrow K\in \left( P \right)\).

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có \(K\in \left( P \right)\). Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA.

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC), chứng minh K’ là trọng tâm tam giác ABC.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua K’ và vuông góc với (ABC) \(\Rightarrow K\in d\).

\(\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow \) Tìm tọa độ điểm K.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 1;1;0 \right)\), mặt cầu \(\left( {{S}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}}\left( 4;-1;-1 \right)\).

Dễ thấy điểm \(M\left( 1;1;1 \right)\) thuộc cả hai mặt cầu \(\Rightarrow M\in \left( P \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mặt phẳng (P) chứa (C) vuông góc với \({{I}_{1}}{{I}_{2}}\) và đi qua M. Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:

\(3\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)-\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0\).

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có \(K\in \left( P \right)\). Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA ta có \(KA'=KB'=KC'\).

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC) ta chứng minh được \(K'A\bot AB;\,\,K'B\bot BC;\,\,K'C\bot CA\) và \(K'A'=K'B'=K'C'\Rightarrow K'\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC đều \(\Rightarrow K'\) là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow K'\left( 2;2;2 \right)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+y+z=6\).

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua K’ và vuông góc với (ABC) là: \(d:\,\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}\Rightarrow K\in d\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow K\left( t+2;t+2;t+2 \right)\)

Thay vào phương tình mặt phẳng (P) \(\Rightarrow 3\left( t+2 \right)-2\left( t+2 \right)-\left( t+2 \right)=0\Rightarrow \) Phương trình có vô số nghiệm.

Vậy có vô số điểm K thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.