Cho hàm số chẵn \(y=f(x)\) liên tục trên R và \(\int_{-1}^{1}{\frac{f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}=8\). Tính

Câu hỏi số 257263:

Vận dụng

Cho hàm số chẵn \(y=f(x)\) liên tục trên R và \(\int_{-1}^{1}{\frac{f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}=8\). Tính \(\int_{0}^{2}{f(x)dx}\).

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257263

Phương pháp giải

Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn.

Giải chi tiết

Đặt \(t=-x\Leftrightarrow dx=-dt\). Đổi cận : \(x=-1\to t=1,\,\,x=-1\to t=1\)

\(I=\int_{-1}^{1}{\frac{f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}=\int_{1}^{-1}{\frac{f(-2t)(-dt)}{1+{{2}^{-t}}}}=\int_{-1}^{1}{\frac{{{2}^{t}}f(2t)dt}{1+{{2}^{t}}}}\) (vì \(y=f(x)\) là hàm số chẵn)

\(\begin{align} \Rightarrow 2I=\int_{-1}^{1}{\frac{f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}+\int_{-1}^{1}{\frac{{{2}^{x}}f(2x)dx}{1+{{2}^{x}}}}=\int_{-1}^{1}{f(2x)dx}\Rightarrow \int_{-1}^{1}{f(2x)dx}=2.8=16 \\ \Rightarrow \int_{-1}^{0}{f(2x)dx}+\int_{0}^{1}{f(2x)dx}=16 \\ \end{align}\)

Do \(y=f(x)\) là hàm số chẵn nên \(\int_{-1}^{0}{f(2x)dx}=\int_{0}^{1}{f(2x)dx}\)

\(\Rightarrow 2\int_{0}^{1}{f(2x)dx}=16\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(2x)dx}=8\)

Đặt \(2x=m\Leftrightarrow 2xdx=dm\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dm\). Đổi cận \(x=0\to m=0,\,\,x=1\to m=2\)

\(\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(2x)dx\Rightarrow \frac{1}{2}}\int_{0}^{2}{f(m)dm}=8\Rightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx}=16\)

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.