Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB=a,\,AC=a\sqrt{3}\). Hình chiếu
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB=a,\,AC=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, \(A'H=a\sqrt{3}\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng A’B và B’C. Tính \(\cos \varphi \).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng công thức Côsin: \({{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A\)
Dựng hình bình hành ABCD (tâm I). Khi đó, A’B’CD là hình bình hành (do \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\))
\(\Rightarrow A'D//B'C\Rightarrow \left( \widehat{A'B;B'C} \right)=\left( \widehat{A'B;A'D} \right)\)
Tam giác ABC vuông tại A
\(\begin{align} \Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}} \\ =2a \\ \end{align}\)
H là trung điểm của BC \(\Rightarrow HB=HC=a\)
Tam giác A’BH vuông tại H \(\Rightarrow A'B=\sqrt{A'{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a\)
Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow \cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)
ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow AB//CD\Rightarrow \widehat{DCB}={{180}^{0}}-\widehat{ABC}\Rightarrow \cos \widehat{DCB}=-\cos \widehat{ABC}=-\frac{1}{2}\)
Tam giác BCD: \(BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}-2BC.CD.\cos \widehat{DCB}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-2.2a.a.\frac{-1}{2}}=a\sqrt{7}\)
Tam giác CDH: \(HD=\sqrt{C{{H}^{2}}+C{{D}^{2}}-2CH.CD.\cos \widehat{DCB}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a.\frac{-1}{2}}=a\sqrt{3}\)
Tam giác A’DH vuông tại H: \(A'D=\sqrt{A'{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}\)
Tam giác A’BH: \(\cos \widehat{BA'D}=\frac{A'{{D}^{2}}+A'{{B}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2A'D.A'B}=\frac{{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}+{{(2a)}^{2}}-{{\left( \sqrt{7}a \right)}^{2}}}{2.a\sqrt{6}.2a}=\frac{3}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{8}\) .
Chọn: B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
