Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):x+y-4z=0\), đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):x+y-4z=0\), đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}\) và điểm \(A(1;3;1)\)thuộc mặt phẳng \((P)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và cách d một khoảng cách lớn nhất. Gọi \(\overrightarrow{u}=(a;b;1)\) là một VTCP của đường thẳng \(\Delta \). Tính \(a+2b\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đánh giá, tìm vị trí của \(\Delta \)để khoảng cách giữa 2 đường thẳng là lớn nhất.
Kẻ AH vuông góc d, qua A kẻ d’ // d.
Dựng mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc AH, (Q) cắt (P) tại \({{\Delta }_{o}}\). Ta sẽ chứng minh \({{\Delta }_{0}}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài (cách d một khoảng cách lớn nhất).
Vì \(\left\{ \begin{align} AH\bot d \\ AH\bot (Q) \\ \end{align} \right.\Rightarrow d//(Q)\Rightarrow d\left( d;\left( Q \right) \right)=AH=d\left( d;{{\Delta }_{0}} \right),\,\,(do\,\,{{\Delta }_{0}}\subset (Q))\)
Lấy \(\Delta \)là đường thẳng bất kì qua A và nằm trong (P). Gọi \((Q')\)là mặt phẳng chứa d’ và \(\Delta \Rightarrow d//(Q')\)\(\Rightarrow d(d;(Q'))=d(H;(Q'))\)
Kẻ \(HA'\bot (Q'),\,\,A'\in (Q')\Rightarrow d(d;(Q'))=HA'=d(d;\Delta )\).
Ta có: \(HA'\le HA\Rightarrow \) Khoảng cách từ d đến\(\Delta \) lớn nhất bằng AH khi \(\Delta \) trùng \({{\Delta }_{o}}\).
*) Tìm tọa độ điểm H:
Gọi \(\left( \alpha \right)\): mặt phẳng qua A vuông góc d \(\Rightarrow \left( \alpha \right):\,2.(x-1)-1(y-3)+1(z-1)=0\Leftrightarrow 2x-y+z=0\)
\(\begin{array}{l}H = d \cap \left( \alpha \right) \Rightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{2x - 2 - y - 1 + z - 3}}{{4 + 1 + 1}} = \frac{{2x - y + z - 6}}{6} = \frac{{0 - 6}}{6} = - 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow H( - 1;0;2)\end{array}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AH}\left( -2;-3;1 \right)\)
\({{\Delta }_{o}}\) có 1 VTCP : \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{AH};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right],\,\,\)với \(\left( \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;1;-4) \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=(11;-7;1)\Rightarrow a=11;\,b=-7\Rightarrow a+2b=-3\)
Chọn: A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
