Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|\le 2\). GTNN của biểu thức \(P=2\left| z+1 \right|+2\left|
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|\le 2\). GTNN của biểu thức \(P=2\left| z+1 \right|+2\left| z-1 \right|+\left| z-\overline{z}-4i \right|\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Tọa độ hóa điểm số phức z, đánh giá GTNN.
Giả sử \(z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)\Rightarrow M(x;y)\) là điểm biểu diễn của \(z\)trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
\(P=2\left| z+1 \right|+2\left| z-1 \right|+\left| z-\overline{z}-4i \right|=2\left( \sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left| y-2 \right| \right)\)
Đặt \(A(-1;0),\,\,B(1;0),\,\,C(0;2)\) và \(H(0;y)\) là hình chiếu của M lên Oy. Khi đó, \(P=2\left( MA+MB+HC \right)\)
Ta xác định vị trí của M để P đạt giá trị nhỏ nhất, ( M di chuyển trên hình tròn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4\))
+) Nếu \(M\in ({{C}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4,\,\,y<0\)thì ta luôn tìm được điểm \(M'\in ({{C}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4,\,\,y\ge 0\) đối xứng với \(M\)qua Ox. Khi đó
\(P=2\left( MA+MB+HC \right)=2\left( M'A+M'B+H'C \right)>2\left( MA+MB+HC \right)\)
+) Ta xét điểm \(M\in ({{C}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4,\,\,y\ge 0\)
Với M nằm trong nửa hình tròn \(({{C}_{2}})\), thay đổi trên đường thẳng \(y=m\) cố định \(\left( 0\le m\le 2 \right)\) thì độ dài đoạn HC không đổi, \(MA+MB\ge HA+HB=2HA\)
\(P=2\left( MA+MB+HC \right)\ge 2\left( 2HA+HC \right)\)
Ta có: \(2HA+HC=2\sqrt{{{m}^{2}}+1}+2-m=f(m),\,\,m\in \left[ 0;2 \right]\)
\(f'(m)=\frac{2}{\sqrt{{{m}^{2}}+1}}-1,\,\,\,f'(m)=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(f{{(m)}_{\min }}=f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow {{P}_{\min }}=2\left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=2+\sqrt{3}\) khi \(M\left( 0;\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\,\,hay\,\,z=\frac{i}{\sqrt{3}}\) .
Chọn: B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
