Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\). Khoảng cách

Câu hỏi số 258495:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng

A. \(\frac{a\sqrt{165}}{30}.\)

B. \(\frac{a\sqrt{165}}{45}.\)

C. \(\frac{a\sqrt{165}}{15}.\)

D. \(\frac{2a\sqrt{165}}{15}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258495

Phương pháp giải

Dựng hình, đưa về khoảng cách từ chân đường cao và áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán khoảng cách

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\Rightarrow \,\,SO\bot \left( ABC \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\Rightarrow \,\,OM\bot BC,\) kẻ \(OH\bot SM\,\,\,\,\,\,\left( H\in SM \right).\)

Suy ra \(OH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow \,\,d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OH.\)

Ta có : \(\frac{AM}{OM}=3\Rightarrow d\left( A,\ \left( SBC \right) \right)=3d\left( O;\ \left( SBC \right) \right)\Rightarrow \,\,d\left( A;\left( SBC \right) \right)=3\,\,\times \,\,OH.\)

Tam giác \(SBM\) vuông tại \(M,\) có \(SM=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}.\) Có : \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OM=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)

Tam giác \(SOM\) vuông tại \(M,\) có : \(SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{15}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{33}}{3}.\)

Khi đó \(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{33}}{3} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\frac{135}{11{{a}^{2}}}\Rightarrow \,\,OH=\frac{a\sqrt{165}}{45}.\)

Vậy khoảng cách cần tính là \(d\left( A;\left( SBC \right) \right)=3\,\,\times \,\,OH=\frac{a\sqrt{165}}{15}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.