Cho \(I=\int\limits_{0}^{m}{\left( 2x-1 \right){{e}^{2x}}\,dx}\). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(I<m\) là khoảng \(\left( a;b \right)\). Tính \(P=a-3b\)

Câu 258501: Cho \(I=\int\limits_{0}^{m}{\left( 2x-1 \right){{e}^{2x}}\,dx}\). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(I<m\) là khoảng \(\left( a;b \right)\). Tính \(P=a-3b\)

A. \(P=-\,3.\)

B. \(P=-\,2.\)

C. \(P=-\,4.\)

D. \(P=-\,1.\)

Câu hỏi : 258501

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần, giải bất phương trình tìm khoảng \(\left( a;b \right)\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = 2x - 1\\
{\rm{d}}v = {e^{2x}}\,{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = 2\,{\rm{d}}x\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\begin{array}{l}
I = \frac{1}{2}\left( {2x - 1} \right){e^{2x}}\left| \begin{array}{l}
m\\
0
\end{array} \right. - \int\limits_0^m {{e^{2x}}{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {2m - 1} \right){e^{2m}} + \frac{1}{2} - \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^m} \\
= \frac{1}{2}\left( {2m - 1} \right){e^{2m}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}{e^{2m}} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left( {2m - 2} \right){e^{2m}} + 1.
\end{array}\)

Ta có \(I<m\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( 2m-2 \right){{e}^{2m}}+1<m\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{e}^{2m}}-\left( m-1 \right)<0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{e}^{2m}}-1 \right)<0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 1 < 0\\
{e^{2m}} - 1 > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 1 > 0\\
{e^{2m}} - 1 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 1
\end{array} \right..\)

Vậy \(P=a-3b=0-3=-\,3\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.