Đường thẳng \(y={{m}^{2}}\) cắt đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-10\) tại hai điểm

Câu hỏi số 258508:

Vận dụng

Đường thẳng \(y={{m}^{2}}\) cắt đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-10\) tại hai điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông (\(O\) là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. \({{m}^{2}}\in \left( 5;7 \right).\)

B. \({{m}^{2}}\in \left( 3;5 \right).\)

C. \({{m}^{2}}\in \left( 1;3 \right).\)

D. \({{m}^{2}}\in \left( 0;1 \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258508

Phương pháp giải

Viết phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ hai điểm A, B và sử dụng điều kiện tam giác vuông

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \({{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-10=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t={{x}^{2}}\ge 0,\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \,\,{{t}^{2}}-t-{{m}^{2}}-10=0\) có \(ac=-{{m}^{2}}-10<0\Rightarrow \) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}\) trái dấu.

Khi đó \(A\left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}};{{m}^{2}} \right),\,\,B\left( -\,\sqrt{\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}};{{m}^{2}} \right)\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\) \(-\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow \,\,2{{m}^{4}}=1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}\Leftrightarrow \,\,\sqrt{4a+41}=2{{a}^{2}}-1\) (với \(a={{m}^{2}}\))

\(\Rightarrow \,\,a={{m}^{2}}=2.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.