Biết tích phân \(\int\limits_{0}^{\ln 6}{\frac{{{\text{e}}^{x}}}{1+\sqrt{{{\text{e}}^{x}}+3}}\text{d}x}=a+b\ln

Câu hỏi số 258819:

Vận dụng

Biết tích phân \(\int\limits_{0}^{\ln 6}{\frac{{{\text{e}}^{x}}}{1+\sqrt{{{\text{e}}^{x}}+3}}\text{d}x}=a+b\ln 2+c\ln 3\), với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên. Tính \(T=a+b+c\).

A. \(T=-1\).

B. \(T=0\).

C. \(T=2\).

D. \(T=1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258819

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+3},\) đưa về tích phân cơ bản

Giải chi tiết

Đặt \(t=\sqrt{{{\text{e}}^{x}}+3}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\text{e}}^{x}}+3\Rightarrow 2t\text{d}t={{\text{e}}^{x}}\text{d}x\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \ln 6\\
x = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 3\\
t = 2
\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_{0}^{\ln 6}{\frac{{{\text{e}}^{x}}}{1+\sqrt{{{\text{e}}^{x}}+3}}\text{d}x}=\int\limits_{2}^{3}{\frac{2t\text{d}t}{1+t}}\)\(=\int\limits_{2}^{3}{\left( 2-\frac{2}{1+t} \right)\text{d}t}=\left. \left( 2t-2\ln \left| t+1 \right| \right) \right|_{2}^{3}\)

\(=\left( 6-2\ln 4 \right)-\left( 4-2\ln 3 \right)\) \(=2-4\ln 2+2\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=-4 \\ & c=2 \\ \end{align} \right.\). Vậy \(T=0\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.