Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm hai đường

Câu hỏi số 258840:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\). Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) bằng

A. \(4\sqrt{2}\pi \).

B. \(8\pi \).

C. \(2\pi \).

D. \(4\pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258840

Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị, lấy giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận sao đó biện luận chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB

Giải chi tiết

Tập xác định: \(D=R\backslash \left\{ 2 \right\}\); \({y}'=\frac{-4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\). Ta có \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \)\(\Rightarrow \) tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\);

Và \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=1\)\(\Rightarrow \) tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\), suy ra \(I\left( 2;\,1 \right)\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) có dạng: \(d:\,y=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) nên \(A\left( 2;\,\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2} \right)\), \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;\,1 \right)\).

Do tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R=\frac{AB}{2}\).

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) là: \(P=AB.\pi \). Chu vi bé nhất khi \(AB\) nhỏ nhất

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 4-2{{x}_{0}};\,\frac{8}{{{x}_{0}}-2} \right)\)\(\Rightarrow \)\(AB=\sqrt{4{{\left( 2-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{8}{{{x}_{0}}-2} \right)}^{2}}}\)\(\ge \sqrt{2\sqrt{4.64}}=4\sqrt{2}\)

Vậy \({{P}_{\min }}=4\sqrt{2}.\pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.