Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Góc giữa mặt phẳng \(\left(

Câu hỏi số 260329:

Thông hiểu

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {A}'BC \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(60^0\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(A'.BCC'B'.\)

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\).

\(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

\(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

D. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260329

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính chiều cao và xét tỉ số thể tích khối đa diện

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(\Delta ABC\) đều nên \(AM\bot BC\)

Mà \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là lăng trụ tam giác đều nên \(\left( ABC \right)\bot \left( {B}'BC{C}' \right)\)

Lại có \(AM\) vuông góc với giao tuyến \(BC\) nên \(AM\bot \left( {B}'BC{C}' \right)\)

\(\Rightarrow {A}'{M}'\bot \left( {B}'BC{C}' \right)\) với \({{V}_{1}}\) là trung điểm của \({B}'{C}'\) \(\Rightarrow {A}'{M}'=d\left( {A}';\left( {B}'BC{C}' \right) \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{align} & AM\bot BC \\& A{A}'\bot BC \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow BC\bot \left( A{A}'M \right)\) \(\Leftrightarrow BC\bot {A}'M\)

Lại có \(\left\{ \begin{align} & AM\bot BC;AM\in \left( ABC \right) \\& {A}'M\bot BC;{A}'M\in \left( {A}'BC \right) \\& \left( ABC \right)\cap \left( {A}'BC \right)=BC \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \)\(\measuredangle \left( \left( ABC \right);\left( {A}'BC \right) \right)=\measuredangle \left( AM;{A}'M \right)=\widehat{{A}'MA}=60{}^\circ \)

Ta thấy \(AM\) là đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) \(\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

Mặt khác \(\tan \left( \widehat{{A}'MA} \right)=\dfrac{A{A}'}{AM}\) \(\Leftrightarrow A{A}'=AM\times \tan \left( \widehat{{A}'MA} \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\tan 60{}^\circ =\dfrac{3a}{2}=B{B}'=C{C}'\)

Vậy thể tích của khối chóp \({A}'.BC{C}'{B}'\) là

\(V=\dfrac{1}{3} A’M’ \times S_{BCB’C’} = \dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \left(\dfrac{3a}{2}\times a \right) = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.