Để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có 3 điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm

Câu hỏi số 261097:

Vận dụng

Để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có 3 điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trực tâm thì giá trị của tham số m bằng

A. 1.

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. 2.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261097

Phương pháp giải

Xác định tọa độ ba điểm cực trị (biểu diễn thông qua tham số m)

Dựa vào tính chất trực tâm để tìm giá trị của m.

Giải chi tiết

\(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow m > 0\). Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị :

\(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,\,C(\sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\)

O là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {BC} = 0\,\,\,(1)\,\\\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} = 0\,\,(2)\end{array} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA} = (0;m - 1),\,\,\overrightarrow {OB} = ( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,\,\) \(\overrightarrow {BC} = (2\sqrt m ;0),\,\,\overrightarrow {AC} = (\sqrt m ; - {m^2})\)

\((1) \Leftrightarrow 0.2\sqrt m + (m - 1).0 = 0\) (luôn đúng)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\rm{}} - \sqrt m .\sqrt m {\rm{}} + \left( { - {m^2} + m - 1} \right)\left( { - {m^2}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - m + {m^4} - {m^3} + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - {m^2} + m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\\{m = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy m = 1.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.