Cho \(2n + 1\) số nguyên, trong đó có đúng một số \(0\) và các số \(1,\;2,\;3,\;......,\;n\) mỗi số

Câu hỏi số 261863:

Vận dụng cao

Cho \(2n + 1\) số nguyên, trong đó có đúng một số \(0\) và các số \(1,\;2,\;3,\;......,\;n\) mỗi số xuất hiện hai lần. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) ta luôn sắp xếp được \(2n + 1\) số nguyên trên thành một dãy sao cho với mọi \(m = 1,\;2,........,\;n\) có đúng \(m\) số nằm giữa hai số \(m.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261863

Giải chi tiết

Ta nhận xét rằng với hai tập, mỗi tập có các số lẻ từ 1 đến 2k + 1, ta có thể sắp xếp sao cho thỏa mãn yêu cầu bài toán với một ô trống giữa gồm 2k + 1; 2k – 1;…; 3; 1; (ô trống); 3;…; 2k – 1; 2k + 1.

Với hai tập, mỗi tập gồm các số chẵn từ 2 đến 2k + 2, ta có thể sắp xếp sao cho thỏa mãn yêu cầu bài toán với hai ô trống giữa gồm 2k; 2k – 2;…; 4; 2; (ô trống 1); (ô trống 2); 2; 4;,….; 2k – 2; 2k.

Xét 2 trường hợp:

Với n = 2k + 1 ta sắp xếp sau là thỏa mãn bài toán :

2k + 1; 2k – 1;………, 3; 1; 2k; 1; 3;……..; 2k – 1; 2k + 1; 2k – 2; 2k – 4;….; 4; 2; 2k; 0; 2; 4;……; 2k – 2.

Với n = 2k ta sắp xếp như sau sẽ thỏa mãn bài toán:

2k – 1; 2k – 3;….; 3; 1; 2k; 1; 3; ….; 2k – 3; 2k – 1; 2k – 2; 2k – 4; ….; 4; 2; 0; 2k; 2; 4; ….; 2k – 4; 2k – 2.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link