Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(AB < AC,\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Tiếp

Câu hỏi số 261861:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(AB < AC,\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Kẻ đường cao \(BF\) của tam giác \(ABC\;\left( {F \in AC} \right).\) Từ \(F\) kẻ đường thẳng song song với \(MA\) cắt \(AB\) tại \(E.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(CE\) và \(BF;\;\;D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC.\)

a) Chứng minh rằng \(M{A^2} = MB.MC\) và \(\frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}}.\)

b) Chứng minh rằng \(AH \bot BC\) tại \(D.\)

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng bốn điểm \(E,\;F,\;D,\;I\) cùng nằm trên một đường tròn.

d) Từ \(H\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(HI\) cắt \(AB,\;AC\) lần lượt tại \(P\) và \(Q.\) Chứng minh rằng \(H\) là trung điểm của \(PQ.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261861

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) ta có:

\(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\)).

\(\widehat {AMC}\) chung

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \Delta MAB \backsim \Delta MCA(g.g)}\\{ \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MB.MC\;\;\;\left( {dpcm} \right).}\\{\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{M{C^2}}}{{M{A^2}}} = \frac{{M{C^2}}}{{MB.MC}} = \frac{{MC}}{{MB}}\;\;\;\left( {dpcm} \right).}\end{array}\)

b) Do \(\widehat {MAE} = \widehat {AEF}\;\;\left( {so\;le\;trong} \right),\;\;\widehat {ACB} = \widehat {MAE}\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {AEF}.\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác BEFC nội tiếp. (hai góc có đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BFC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Mà: \(\widehat {BFC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BEC} = {90^0} \Rightarrow CE \bot AB.\)

Do đó H là trực tâm tam giác ABC.

\( \Rightarrow AH\) là đường cao còn lại của \(\Delta ABC\) hay \(AH \bot BC = \left\{ D \right\}.\)

c)Vì \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên: \(FI = \frac{1}{2}BC\)

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). \( \Rightarrow \)

tam giác BIF cân tại I. Do đó: \(\widehat {FIC} = 2\widehat {IBF}\)

(góc ngoài của tam giác).

Mặt khác tứ giác BEHD nội tiếp nên: \(\widehat {HBD} = \widehat {DEH}\)

Mà tứ giác AEHF nội tiếp nên \(\widehat {{\rm{HAF}}} = \widehat {{\rm{HEF}}}\)

Lại có:

\(\widehat {{\rm{HBD}}} = \widehat {{\rm{HEF}}} \Rightarrow \widehat {HBD} = \frac{1}{2}\widehat {DEF} \Rightarrow \widehat {FIC} = \widehat {DEF}.\)

Vậy 4 điểm E, F, I, C cùng nằm trên một đường tròn.

d) Gọi K, L lần lượt là trung điểm của BE, FC ta có.

Do IK là đường trung bình của tam giác BEC nên IK//EC do vậy:\(IK \bot BE\)

Suy ra tứ giác PKHI nội tiếp nên: \(\widehat {HPI} = \widehat {HKI}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {HQI} = \widehat {HLI}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {HKE} + \widehat {HKI} = {{90}^0},\widehat {HLI} + \widehat {HLF} = {{90}^0}}\\{\Delta HKE\backsim\Delta HCF \Rightarrow \frac{{HE}}{{HF}} = \frac{{BE}}{{CF}} \Rightarrow \frac{{HE}}{{HF}} = \frac{{KE}}{{LF}}}\end{array}\)

Xét 2 tam giác HKE và HLF có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{HE}}{{HF}} = \frac{{KE}}{{LF}};\widehat {HEK} = \widehat {HLF} = {{90}^0}}\\{ \Rightarrow \Delta HKE\backsim\Delta HLF(c.g.c) \Rightarrow \widehat {HKE} = \widehat {HLF}}\end{array}\)

Từ trên ta lại có:

\(\widehat {HKI} = \widehat {HLI} \Rightarrow \widehat {HPI} = \widehat {HQI}\)

nên tam giác IPQ cân tại I.

Mà \(IH \bot PQ \Rightarrow \) H là trung điểm của PQ.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link