Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, M là trung điểm của SA. Biết mặt phẳng

Câu hỏi số 262007:

Vận dụng

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, M là trung điểm của SA. Biết mặt phẳng (MCD) vuông góc với mặt phẳng (SAB). Thể tích khối chóp S.ABCD là:

\(\frac{{{a^3}}}{{\sqrt 3 }}\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}\)

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262007

Phương pháp giải

Gọi O là tâm mặt đáy \( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi N là trung điểm của SB ta có \(\left( {MCD} \right) \equiv \left( {MNCD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {MNCD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)

Dễ thấy \(\Delta BCN = \Delta ADM\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow CN = DM\)

\( \Rightarrow MNCD\) là hình thang cân. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN và CD ta có \(EF \bot MN\)

\( \Rightarrow EF \bot \left( {SAB} \right)\)

Gọi G là trung điểm AB ta có S, E, G thẳng hàng.

Đặt \(SA = SB = SC = SD = x\) ta có \(CN = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}{2}\)

Dễ dàng tính được \(EF = \frac{{\sqrt {4{x^2} + 7{a^2}} }}{4}\)

Ta có \(EG = \frac{1}{2}SG = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {4{x^2} - {a^2}} }}{4}\)

\(\Delta EFG\) vuông tại E \( \Rightarrow E{F^2} + E{G^2} = G{F^2} \Leftrightarrow \frac{{4{x^2} + 7{a^2}}}{{16}} + \frac{{4{x^2} - {a^2}}}{{16}} = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 7{a^2} + 4{x^2} - {a^2} = 16{a^2} \Leftrightarrow 8{x^2} = 10{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)

Xét tam giác vuông SOB: \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {\frac{{5{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

Vậy thể tích khối chóp là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.{a^2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.