Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC ?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
\({V_{chop}} = \frac{1}{3}h.{S_{day}} \Rightarrow h = \frac{{3{V_{chop}}}}{{{S_{day}}}}\)
Gọi H là trung điểm của AB ta có:
\(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi N là trung điểm của CD
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MN//SC \Rightarrow d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right)\\ = d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right)\end{array}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot SH\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại A \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}SD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tương tự ta chứng minh được tam giác SBC vuông cân tại B.
Có \(MN = \frac{1}{2}SC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\,\,AN = \sqrt {A{D^2} + D{N^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {p_{AMN}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2} + \frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 + a\sqrt 5 }}{4}\\ \Rightarrow {S_{AMN}} = \sqrt {{p_{AMN}}\left( {{p_{AMN}} - AM} \right)\left( {{p_{AMN}} - MN} \right)\left( {{p_{AMN}} - NP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{16}}\end{array}\)
Ta có \(\frac{{{V_{M.AND}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{M.AND}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8}\)
Có \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow {V_{M.AND}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\)
Lại có \({V_{M.AND}} = \frac{1}{3}{S_{AMN}}.d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{M.AND}}}}{{{S_{AMN}}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
