Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng

Câu hỏi số 262037:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC ?

\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

\(a\)

D. \(\frac{a}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262037

Phương pháp giải

\({V_{chop}} = \frac{1}{3}h.{S_{day}} \Rightarrow h = \frac{{3{V_{chop}}}}{{{S_{day}}}}\)

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB ta có:

\(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi N là trung điểm của CD

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MN//SC \Rightarrow d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right)\\ = d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right)\end{array}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot SH\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại A \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}SD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tương tự ta chứng minh được tam giác SBC vuông cân tại B.

Có \(MN = \frac{1}{2}SC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\,\,AN = \sqrt {A{D^2} + D{N^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {p_{AMN}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2} + \frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 + a\sqrt 5 }}{4}\\ \Rightarrow {S_{AMN}} = \sqrt {{p_{AMN}}\left( {{p_{AMN}} - AM} \right)\left( {{p_{AMN}} - MN} \right)\left( {{p_{AMN}} - NP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{16}}\end{array}\)

Ta có \(\frac{{{V_{M.AND}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{M.AND}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8}\)

Có \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow {V_{M.AND}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\)

Lại có \({V_{M.AND}} = \frac{1}{3}{S_{AMN}}.d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{M.AND}}}}{{{S_{AMN}}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.