Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn điều kiện: \({5^x}{.3^y} + 1 =

Câu hỏi số 262308:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn điều kiện: \({5^x}{.3^y} + 1 = {\rm{z}}(3{\rm{z}} + 2).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262308

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}{5^x}{.3^y} + 1 = {\rm{z}}(3{\rm{z}} + 2) \Rightarrow {5^x}{.3^y} = (3{\rm{z}} - 1)({\rm{z}} + 1)\\ \Rightarrow (3{\rm{z}} - 1)({\rm{z + 1)}} \vdots {{\rm{3}}^y} \to \left( {{\rm{z}} + 1} \right) \vdots {3^y}\end{array}\)

(Vì \(\left( {3z - 1} \right)\) không chia hết cho 3 nên \(\left( {3z - 1} \right)\) không chia hết cho \({3^y}\)).

Đặt : \({\rm{z}} + 1 = k{.3^y} \Rightarrow {5^x}{.3^y} = (3{\rm{z}} - 1){.3^y}.k \Rightarrow {5^x} = (3{\rm{z}} - 1).k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\rm{z}} - 1 = {5^m}\\k = {5^n}\end{array} \right.\)

Nếu

\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Rightarrow {5^n} \vdots 5 \Rightarrow \left( {z + 1} \right) \vdots {\rm{5}} \Rightarrow {\rm{z}} \equiv 4\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\ \Rightarrow 3{\rm{z}} - 1 \equiv 1\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow {5^m} \equiv 1\,\,\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow m = 0\\ \Rightarrow 3{\rm{z}} - 1 = {5^m} = 1 \Rightarrow z = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Nếu \(n = 0 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} + 1 = {3^y}\\3{\rm{z}} - 1 = {5^x}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{3z}} + 3 = {3^{y + 1}}\\3{\rm{z}} - 1 = {5^x}\end{array} \right. \Rightarrow {3^{y + 1}} = {5^x} + 4\)

Nếu y chẵn thì : \(3 \equiv - 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right) \Rightarrow {3^{y + 1}} \equiv - 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\)

Mặt khác : \({5^x} + 4 \equiv 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\) nên mâu thuẫn.

Do đó y lẻ.

Đặt :

\(\begin{array}{l}y = 2k + 1 \to {({3^{k + 1}})^2} = {5^x} + 4\\ \Rightarrow ({3^{k + 1}} - 2)({3^{k + 1}} + 2) = {5^x}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{k + 1}} - 2 = {5^a}\\{3^{k + 1}} + 2 = {5^b}\end{array} \right. \Rightarrow {5^b} - {5^a} = 4 \Rightarrow {5^a}({5^{b - a}} - 1) = 4\\ \Rightarrow {5^a} = 1;{5^{b - a}} - 1 = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = y = 1;\;\;{\rm{z}} = 2.\end{array}\)

Và đây cũng là nghiệm nguyên duy nhất của bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link