Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn điều kiện: \({5^x}{.3^y} + 1 =

Câu hỏi số 262308:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn điều kiện: \({5^x}{.3^y} + 1 = {\rm{z}}(3{\rm{z}} + 2).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262308

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}{5^x}{.3^y} + 1 = {\rm{z}}(3{\rm{z}} + 2) \Rightarrow {5^x}{.3^y} = (3{\rm{z}} - 1)({\rm{z}} + 1)\\ \Rightarrow (3{\rm{z}} - 1)({\rm{z + 1)}} \vdots {{\rm{3}}^y} \to \left( {{\rm{z}} + 1} \right) \vdots {3^y}\end{array}\)

(Vì \(\left( {3z - 1} \right)\) không chia hết cho 3 nên \(\left( {3z - 1} \right)\) không chia hết cho \({3^y}\)).

Đặt : \({\rm{z}} + 1 = k{.3^y} \Rightarrow {5^x}{.3^y} = (3{\rm{z}} - 1){.3^y}.k \Rightarrow {5^x} = (3{\rm{z}} - 1).k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\rm{z}} - 1 = {5^m}\\k = {5^n}\end{array} \right.\)

Nếu

\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Rightarrow {5^n} \vdots 5 \Rightarrow \left( {z + 1} \right) \vdots {\rm{5}} \Rightarrow {\rm{z}} \equiv 4\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\ \Rightarrow 3{\rm{z}} - 1 \equiv 1\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow {5^m} \equiv 1\,\,\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow m = 0\\ \Rightarrow 3{\rm{z}} - 1 = {5^m} = 1 \Rightarrow z = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Nếu \(n = 0 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} + 1 = {3^y}\\3{\rm{z}} - 1 = {5^x}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{3z}} + 3 = {3^{y + 1}}\\3{\rm{z}} - 1 = {5^x}\end{array} \right. \Rightarrow {3^{y + 1}} = {5^x} + 4\)

Nếu y chẵn thì : \(3 \equiv - 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right) \Rightarrow {3^{y + 1}} \equiv - 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\)

Mặt khác : \({5^x} + 4 \equiv 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\) nên mâu thuẫn.

Do đó y lẻ.

Đặt :

\(\begin{array}{l}y = 2k + 1 \to {({3^{k + 1}})^2} = {5^x} + 4\\ \Rightarrow ({3^{k + 1}} - 2)({3^{k + 1}} + 2) = {5^x}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{k + 1}} - 2 = {5^a}\\{3^{k + 1}} + 2 = {5^b}\end{array} \right. \Rightarrow {5^b} - {5^a} = 4 \Rightarrow {5^a}({5^{b - a}} - 1) = 4\\ \Rightarrow {5^a} = 1;{5^{b - a}} - 1 = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = y = 1;\;\;{\rm{z}} = 2.\end{array}\)

Và đây cũng là nghiệm nguyên duy nhất của bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link