a) Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD. Hai đoạn
a) Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD. Hai đoạn thẳng BC và AD cắt nhau tại I. Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng CI (M khác C và I). Đường thẳng qua M song song với BD cắt CD tại K; đường thẳng qua M song song với CD cắt BD tại Q. Chứng minh rằng AM vuông góc với QK.
b) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC, nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Đường thẳng AH cắt hai đường thẳng BC và CO lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng hai đường trong ngoại tiếp tam giác ACD và CEH tiếp xúc nhau.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(OQ = OK,\,\,HQ = HK \Rightarrow OH \bot OK\).
b) Chứng minh tâm (HCE) nằm trên AC vì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đã nằm trên AC.
a) Gọi giao điểm của DM và QK là H.
Xét tứ giác MQDK ta có :\(\left\{ \begin{array}{l}MQ//DK\\QD//MK\end{array} \right. \Rightarrow MQDK\) là hình bình hành.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MQ = DK\\QD = MK\end{array} \right.\) và \(H\) là trung điểm của \(DM\) và \(QK.\)
Theo đề bài ta có ngay:
\(OB = OD = R\),
\(\begin{array}{l}\widehat {OBD} = \widehat {ODC}\;\;\left( { = \widehat {ODB}} \right)\\BQ = QM = DK\\ \Rightarrow \Delta OBQ = \Delta ODK(c.g.c)\\ \Rightarrow OQ = OK.\\HQ = HK \Rightarrow OH \bot QK.\end{array}\)
Lại có OH là đường trung bình của tam giác DAM nên :
\(OH//AM \Rightarrow AM \bot QK.\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Ta sẽ chứng minh tâm (HCE) nằm trên AC vì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đã nằm trên AC.
Thật vậy :
Gọi M là giao điểm của (HCE) và AC ta có :
Dễ dàng chứng minh theo phương pháp cộng góc thì :
\(\widehat {ACH} = \widehat {BCO}\)
Lại có EHMC là tứ giác nội tiếp nên :
\(\widehat {DEC} = \widehat {HMC} \Rightarrow \widehat {HCM} + \widehat {HMC} = \widehat {DEC} + \widehat {ECD} = {90^0}\)
Do vậy :
Tứ giác MHEC nội tiếp đường tròn đường kính MC.
Do đó : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEC thuộc AC.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
