Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm nằm trên cung BC không chứa

Câu hỏi số 262866:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm M, B, D, F cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm M, D, E, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh D, E, F thẳng hàng.

c) \(\frac{{BC}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262866

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác MDBF có tổng hai góc đối bằng 180⁰ và tứ giác MDEC có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau.

b) Chứng minh \(\widehat {BDF} = \widehat {CDE}\)

c) Phân tích

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{AE + EC}}{{ME}} + \frac{{AF - BF}}{{MF}} = \frac{{AE}}{{ME}} + \frac{{EC}}{{ME}} + \frac{{AF}}{{MF}} - \frac{{BF}}{{MF}}\\ = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {EMC} + \tan \widehat {AMF} - \tan \widehat {FMB}.\end{array}\)

+) Chứng minh \(\widehat {EMC} = \widehat {FMB}\)

+) Chứng minh \(\widehat {AME} = \widehat {BMD}\), \(\widehat {AMF} = \widehat {DMC}\).

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác MDBF có \(\widehat {MDB} + \widehat {MFB} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác MDBF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

Xét tứ giác MDEC có \(\widehat {MDC} = \widehat {MEC} = {90^0} \Rightarrow \) tứ giác MDEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

b) Vì tứ giác \(MDBF\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {BMF}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Vì tứ giác MDEC là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CME}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

Ta có \(\widehat {BMF} + \widehat {MBF} = {90^0};\,\,\widehat {CME} + \widehat {MCE} = {90^0}\) .

Mà \(\widehat {MCE} = \widehat {MBF}\) (cùng bù với \(\widehat {ABM}\))

\(\Rightarrow \widehat {BMF} = \widehat {CME} \Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {CDE}.\)

Mà hai góc này ở vị trí hai góc đối đỉnh \( \Rightarrow D;E;F\) thẳng hàng.

c) Ta có

Xét \(\Delta BMF\) và \(CME\) có :

\(\widehat{MFB}=\widehat{MEC}={{90}^{0}};\,\,\widehat{MCE}=\widehat{MBF}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta BMF\backsim \Delta CME\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \widehat{EMC}=\widehat{FMB}\)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {AMF}\).

Mặt khác ta có tứ giác AEMF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE), \(\widehat {AFE} = \widehat {BMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {BMD}\).

Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {AMF} = \widehat {AEF} = \widehat {DMC}\).

Do đó \(\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {AMF} = \tan \widehat {BMD} + \tan \widehat {DMC} = \frac{{BD}}{{DM}} + \frac{{DC}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{MD}}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link