Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm nằm trên cung BC không chứa
Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm M, B, D, F cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm M, D, E, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh D, E, F thẳng hàng.
c) \(\frac{{BC}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}}\)
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác MDBF có tổng hai góc đối bằng 1800 và tứ giác MDEC có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau.
b) Chứng minh \(\widehat {BDF} = \widehat {CDE}\)
c) Phân tích
\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{AE + EC}}{{ME}} + \frac{{AF - BF}}{{MF}} = \frac{{AE}}{{ME}} + \frac{{EC}}{{ME}} + \frac{{AF}}{{MF}} - \frac{{BF}}{{MF}}\\ = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {EMC} + \tan \widehat {AMF} - \tan \widehat {FMB}.\end{array}\)
+) Chứng minh \(\widehat {EMC} = \widehat {FMB}\)
+) Chứng minh \(\widehat {AME} = \widehat {BMD}\), \(\widehat {AMF} = \widehat {DMC}\).
a) Xét tứ giác MDBF có \(\widehat {MDB} + \widehat {MFB} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác MDBF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
Xét tứ giác MDEC có \(\widehat {MDC} = \widehat {MEC} = {90^0} \Rightarrow \) tứ giác MDEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).
b) Vì tứ giác \(MDBF\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {BMF}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Vì tứ giác MDEC là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CME}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)
Ta có \(\widehat {BMF} + \widehat {MBF} = {90^0};\,\,\widehat {CME} + \widehat {MCE} = {90^0}\) .
Mà \(\widehat {MCE} = \widehat {MBF}\) (cùng bù với \(\widehat {ABM}\))
\(\Rightarrow \widehat {BMF} = \widehat {CME} \Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {CDE}.\)
Mà hai góc này ở vị trí hai góc đối đỉnh \( \Rightarrow D;E;F\) thẳng hàng.
c) Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{AE + EC}}{{ME}} + \frac{{AF - BF}}{{MF}} = \frac{{AE}}{{ME}} + \frac{{EC}}{{ME}} + \frac{{AF}}{{MF}} - \frac{{BF}}{{MF}}\\ = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {EMC} + \tan \widehat {AMF} - \tan \widehat {FMB}.\end{array}\)
Xét \(\Delta BMF\) và \(CME\) có :
\(\widehat{MFB}=\widehat{MEC}={{90}^{0}};\,\,\widehat{MCE}=\widehat{MBF}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta BMF\backsim \Delta CME\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \widehat{EMC}=\widehat{FMB}\)
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {AMF}\).
Mặt khác ta có tứ giác AEMF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE), \(\widehat {AFE} = \widehat {BMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {BMD}\).
Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {AMF} = \widehat {AEF} = \widehat {DMC}\).
Do đó \(\frac{{AC}}{{ME}} + \frac{{AB}}{{MF}} = \tan \widehat {AME} + \tan \widehat {AMF} = \tan \widehat {BMD} + \tan \widehat {DMC} = \frac{{BD}}{{DM}} + \frac{{DC}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{MD}}\) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
