Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=mx+\frac{36}{x+1}\) trên \(\text{ }\!\![\!\!\text{

Câu hỏi số 263378:

Vận dụng

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=mx+\frac{36}{x+1}\) trên \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\,\,3\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\) bằng \(20.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(4<m\le 8.\)

B. \(0<m\le 2.\)

C. \(2<m\le 4.\)

D. \(m>8.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263378

Phương pháp giải

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn, biện luận trường hợp để tìm min theo tham số m

Giải chi tiết

Ta có \({y}'=m-\frac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}};\ \,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\) và \(y\left( 0 \right)=36;\,\,\ y\left( 3 \right)=3m+9.\)

TH1: Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le \frac{9}{4} \\ & \min y=3m+9=20 \\ \end{align} \right.\ \) (vô nghiệm).

TH2: Phương trình \({y}'=m-\frac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\,\xrightarrow{m\,\,>\,\,0}\,\,{y}'=0\Leftrightarrow x=-1+\frac{6}{\sqrt{m}}.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(20\,\,\Rightarrow \,\,y\left( -1+\frac{6}{\sqrt{m}} \right)=20\)

\(\Leftrightarrow m\left( -1+\frac{6}{\sqrt{m}} \right)+\frac{36}{-\,1+\frac{6}{\sqrt{m}}+1}\Leftrightarrow -\,m+6\sqrt{m}+6\sqrt{m}=20\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=4 \\ & m=100 \\ \end{align} \right..\)

Với \(m=100\) loại vì \(-\,1+\frac{6}{\sqrt{100}}=-\frac{2}{5}\notin \left[ 0;3 \right].\) Vậy \(m=4\in \left( 2;4 \right].\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.