Cho đồ thị \((C):y=\frac{x-1}{2x}\) và \({{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}\) là hai tiếp tuyến của \((C)\) song

Câu hỏi số 263409:

Vận dụng cao

Cho đồ thị \((C):y=\frac{x-1}{2x}\) và \({{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}\) là hai tiếp tuyến của \((C)\) song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là

A. \(3.\)

B. \(2\sqrt{3}.\)

C. \(2.\)

D. \(2\sqrt{2}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263409

Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), sử dụng điều kiện song song, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đưa về hàm một biến, khảo sát hoặc đánh giá bất đẳng thức tìm GTLN

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( a;\frac{a-1}{2a} \right);\ \,B\left( b;\frac{b-1}{2b} \right)\,\,\,\left( a\ne b \right)\). Ta có \(y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=\frac{1}{2{{x}^{2}}};\,\,\forall x\ne 0.\)

Theo bài ra, ta có \({y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2{{a}^{2}}}=\frac{1}{2{{b}^{2}}}\Rightarrow \,\,a=-\,b\) (vì \(a\ne b\)).

Suy ra \(A,\,\,B\) đối xứng nhau qua tâm đối xứng \(I\left( 0;\frac{1}{2} \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) tại A là \(\left( d \right):y=\frac{1}{2{{a}^{2}}}\left( x-a \right)+\frac{a-1}{2a}\)

Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến là \(d=2\,\,\times \,\,d\left( I;\left( d \right) \right)=\frac{\frac{2}{\left| a \right|}}{\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}}\le \frac{2}{\left| a \right|}:\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}}=2\).

Vì theo bất đẳng thức AM – GM, ta được \(\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1\ge 2\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}\le \frac{1}{\left| a \right|}.\)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa tiếp tuyến \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(2.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.