Cho điểm \(M\left( {4;2;4} \right)\). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt

Câu hỏi số 264497:

Vận dụng cao

Cho điểm \(M\left( {4;2;4} \right)\). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm \(A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)\) sao cho thể tích khối chóp OABC nhỏ nhất. Khi đó, thể tích khối chóp OABC nhỏ nhất bằng

A. 864

B. 432

C. 144

D. 288

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264497

Phương pháp giải

+) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng đoạn chắn.

+) Sử dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết

Mặt phẳng (P) có phương trình \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

\(M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c} = 1\).

Do OABC là khối chóp vuông nên \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc\).

Ta có \(1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{\dfrac{{4.2.4}}{{abc}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{32}}{{abc}} \le \dfrac{1}{{27}} \Leftrightarrow abc \ge 864\)

Vậy \({V_{OABC}} \ge \dfrac{1}{6}.864 = 144 \Rightarrow {V_{OABC}}{\,_{\min }} = 144 \Leftrightarrow \dfrac{4}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = 6\\c = 12\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.