Từ điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường

Câu hỏi số 264623:

Vận dụng

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (B, C là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn.

b) Vẽ cát tuyến ADE của (O) sao cho cát tuyến ADE nằm giữa 2 tia AO, AB; D, E thuộc đường tròn (O) và D nằm giữa A, E. Chứng minh \(A{{B}^{2}}=AD.AE\).

c) Gọi F là điểm đối xứng của D qua AO. H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264623

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AED đồng dạng.

c) Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh \(\widehat{OHE};\widehat{AHF}\) bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}={{90}^{0}}\) (AB, AC là các tiếp tuyến) \(\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}={{180}^{0}}\Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Xét tam giác ABD và ACE có: \(\widehat{BAE}\) chung, \(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD).

\(\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta AEB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AD.AE\).

c) Xét tam giác ABO và AHB có \(\widehat{BAO}\) chung, \(\widehat{ABH}=\widehat{AOB}\) (cùng phụ \(\widehat{BAO}\))

\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta ABO\backsim \Delta AHB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{AO}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AH.AO \\ & \Rightarrow AD.AE=AH.AO\Rightarrow \frac{AD}{AH}=\frac{AO}{AE} \\ \end{align}\)

Xét tam giác ADH và AOE có: \(\widehat{OAE}\) chung, \(\frac{AD}{AH}=\frac{AO}{AE}\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ADH\backsim \Delta AOE\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{AHD}=\widehat{AEO}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mà \(\widehat{AHD}+\widehat{DHO}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{AEO}+\widehat{DHO}={{180}^{0}}\Rightarrow OHDE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

Ta có \(\Delta \text{ODE}\) cân tại O \(\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{ODE}\,\,\left( 2 \right)\). Mà \(\widehat{ODE}=\widehat{OHE}\,\,\,\left( 3 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OE), \(\widehat{AHD}=\widehat{AHF}\,\,\,\left( 4 \right)\) (tính chất đối xứng).

Từ (1), (2), (3), (4) \(\Rightarrow \widehat{OHE}=\widehat{AHF}\). Mà hai góc này ở vị trí hai góc đối đỉnh.

Vậy ba điểm E, F, H thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link