Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{2}}+1}}=\frac{\pi }{4}\) và

Câu hỏi số 265013:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{2}}+1}}=\frac{\pi }{4}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+{{x}^{4}}}{1+{{x}^{6}}}\,\text{d}x}=\frac{a}{b}\pi \) với \(a,\,\,b\in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a+b.\)

A. 3

B. 4

C. 7

D. 5

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265013

Phương pháp giải

Tách hàm phân thức và đổi biến số đưa về tích phân cơ bản

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+{{x}^{4}}}{1+{{x}^{6}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1-{{x}^{2}}+{{x}^{4}} \right)}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{1+{{x}^{2}}}}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{6}}}\,\text{d}x}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}\left( {{x}^{3}} \right)}{1+{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}}.\)

\(=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}t}{1+{{t}^{2}}}}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}.\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}.\) Mà \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+{{x}^{4}}}{1+{{x}^{6}}}\,\text{d}x}=\frac{a}{b}\pi =\frac{1}{3}\pi \Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\& b=3 \\\end{align} \right..\) Vậy \(a+b=4.\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.