Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn hệ thức

Câu hỏi số 265070:

Vận dụng

Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn hệ thức \(4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}-8x-24y-8z+35=0\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| 2x-y+2z+5 \right|.\)

A. \({{P}_{\min }}=\frac{3}{5}.\)

B. \({{P}_{\min }}=\frac{3}{4}.\)

C. \({{P}_{\min }}=\frac{3}{2}.\)

D. \({{P}_{\min }}=\frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265070

Phương pháp giải

Đưa về đánh giá tổng các bình phương qua bất đẳng thức Bunhiacopxki

Giải chi tiết

Ta có \(4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}-8x-24y-8z+35=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-6y+9+{{z}^{2}}-2z+1=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{9}{4}\). Lại có \(P=\left| 2x-y+2z+5 \right|=\left| 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)+6 \right|\)

Khi đó \({{\left[ 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right) \right]}^{\,2}}\le \left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right).\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}} \right]=\frac{81}{4}.\)

Suy ra \(-\,\frac{9}{2}\le 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)\le \frac{9}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\le 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)+6\le \frac{21}{2}\).

Vậy \(P=\left| 2\left( x-1 \right)-\left( y-3 \right)+2\left( z-1 \right)+6 \right|\ge \frac{3}{2}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{{P}_{\min }}=\frac{3}{2}.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.