Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau Có bao nhiêu mệnh đề đúng

Câu hỏi số 265153:

Vận dụng

Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-2\)?

I. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( -4;-2 \right).\)

II. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;2 \right).\)

III. Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(-2\).

IV. Hàm số \(g\left( x \right)\) có giá trị cực đại bằng \(A\).

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265153

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm hợp, lập bảng biến thiên để xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Giải chi tiết

Từ bảng biến thiên ta có hàm số \(y=f\left( x \right)\), ta có

\({f}'\left( x \right)=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\& x=2 \\\end{align} \right.\),\({f}'\left( x \right)>0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x<0 \\& x>2 \\\end{align} \right.\), \({f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow 0<x<2\) và \(f\left( 0 \right)=-1\), \(f\left( 2 \right)=-2\).

Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2-x \right)-2\) ta có \({g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 2-x \right)\). Giải phương trình \({g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2-x=0 \\& 2-x=2 \\\end{align} \right.\).

Ta có \({g}'\left( x \right)>0\)\(\Leftrightarrow -{f}'\left( 2-x \right)>0\)\(\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)<0\)\(\Leftrightarrow 0<2-x<2\)\(\Leftrightarrow 0<x<2\).

Và \({g}'\left( x \right)<0\)\(\Leftrightarrow -{f}'\left( 2-x \right)<0\)\(\Leftrightarrow {f}'\left( 2-x \right)>0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2-x<0 \\& 2-x>2 \\\end{align} \right.\)\(\left[ \begin{align} & x>2 \\& x<0 \\\end{align} \right.\).

\(g\left( 0 \right)=f\left( 2-0 \right)-2\)\(=f\left( 2 \right)-2\)\(=-4\).

\(g\left( 2 \right)=f\left( 2-2 \right)-2\)\(=f\left( 0 \right)-2\)\(=-3\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;2 \right)\) nên I sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 2;+\infty \right)\) nên II sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x=2\) nên III sai.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x=2\) và \({{g}_{C}}=g\left( 0 \right)\) nên IV đúng.

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.