Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{ABC}={{30}^{0}}\) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính
Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{ABC}={{30}^{0}}\) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính \(BC=2R.\)
a) Tính độ dài các cạnh AB, AC theo R.
b) Tính diện tích S của hình giới bởi cung AC và dây AC theo R.
c) Gọi M là điểm di động trên cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí của M để tích MB.MC là lớn nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
a) Tính độ dài các cạnh AB, AC theo R.
Xét đường tròn tâm O, đường kính BC có: \(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow \widehat{BAC}={{90}^{0}}.\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A ta có:
\(\begin{align} & AB=BC.\cos \widehat{ABC}=2R.\cos {{30}^{0}}=2R.\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. \\ & \Rightarrow A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}=4{{R}^{2}}-3{{R}^{2}}={{R}^{2}} \\ & \Rightarrow AC=R. \\ \end{align}\)
Vậy \(AB=R\sqrt{3},\ \ AC=R.\)
b) Tính diện tích S của hình giới bởi cung AC và dây AC theo R.
Hình giới hạn bởi cung AC và dây AC là hình viên phân.
Ta có: \({{S}_{vp}}={{S}_{quat\,\,OAC}}-{{S}_{\Delta AOC}}.\)
Ta có \(\widehat{AOC}=2.\widehat{ABC}={{60}^{0}}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
\(\Rightarrow {{S}_{quạt\,\,OAC}}=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\frac{\pi .{{R}^{2}}.60}{360}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{6}.\)
Tam giác AOC cân tại O vì \(AO=OC=R\) và có \(\widehat{AOC}={{60}^{0}}\ \ \left( cmt \right)\Rightarrow \Delta AOC\) là tam giác đều.
Diện tích của tam giác đều AOC là: \({{S}_{ACO}}=\frac{O{{A}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)
\(\Rightarrow {{S}_{vp}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{6}-\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right)}{12}{{R}^{2}}.\)
c) Gọi M là điểm di động trên cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí của M để tích MB.MC là lớn nhất.
Tam giác MBC có \(\widehat{BMC}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta MBC\) vuông tại M
\(\Rightarrow M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}=4{{R}^{2}}\) (Định lí Pitago)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(MB.MC\le \frac{M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}{2}=\frac{4{{R}^{2}}}{2}=2{{R}^{2}}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow MB=MC\) , khi đó M là điểm chính giữa của cung BC (không chứa điểm A).
Vậy \(MB.M{{C}_{\max }}=2{{R}^{2}}\Leftrightarrow \) M là điểm chính giữa cung BC.
Đáp án cần chọn là: D
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
