Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T =

Câu hỏi số 266413:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \left| {z + 1} \right| + 2\left| {z - 1} \right|\).

A. \(\max T = 2\sqrt 5 \)

B. \(\max T = 3\sqrt 5 \)

C. \(\max T = 2\sqrt {10} \)

D. \(\max T = 3\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266413

Phương pháp giải

Gọi số phức, áp dụng BĐT Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x;y} \right) \in R\) và gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z.

Gọi \(A\left( { - 1;0} \right);\,\,B\left( {1;0} \right)\), khi đó \(T = \left| {z + 1} \right| + 2\left| {z - 1} \right| = MA + 2MB\).

Ta có \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\,\,\left( C \right) \Rightarrow \)M thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) bán kính bằng 1.

Dễ thấy \(A;B \in \left( C \right)\)và \(AB = 2 \Rightarrow AB\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {AMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M.

Áp dụng định lí Pitago ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} = 4\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\({T^2} = {\left( {MA + 2MB} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 5.4 = 20 \Rightarrow T \le 2\sqrt 5 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow MA = \frac{{MB}}{2} \Leftrightarrow 2MA = MB\).

Vậy \(\max T = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.