1) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = - \frac{1}{2}x + 2.\) a) Tìm \(m\) để đường thẳng

Câu hỏi số 266558:

Vận dụng

1) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = - \frac{1}{2}x + 2.\)

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( \Delta \right):\;y = \left( {m - 1} \right)x + 1\) song song với đường thẳng \(\left( d \right).\)

b) Gọi \(A,\;B\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với parabol \(\left( P \right):\;\;y = \frac{1}{4}{x^2}.\) Tìm tọa độ điểm \(N\) nằm trên trục hoành sao cho \(NA + NB\) nhỏ nhất.

2) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 3a\\ - ax + y = 2 - {a^2}\end{array} \right.\;\;\;\left( I \right)\) với \(a\) là tham số.

a) Giải hệ phương trình (I) khi \(a = 1.\)

b) Tìm \(a\) để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{2y}}{{{x^2} + 3}}\) là số nguyên.

A. 1.a) \(m = \frac{1}{2}.\)

1.b)\(N\left( {\frac{4}{5};0} \right)\)

2.a)\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

2.b) \(a = \pm 1\)

B. 1.a) \(m = \frac{3}{2}.\)

1.b)\(N\left( {\frac{4}{5};0} \right)\)

2.a)\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

2.b) \(a = \pm 1\)

C. 1.a) \(m = \frac{1}{2}.\)

1.b)\(N\left( {\frac{4}{5};0} \right)\)

2.a)\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\;1} \right).\)

2.b) \(a = \pm 1\)

D. 1.a) \(m = \frac{1}{2}.\)

1.b)\(N\left( {\frac{4}{5};0} \right)\)

2.a)\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

2.b) \(a = \pm 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266558

Phương pháp giải

1) a) Hai đường thẳng \(y = {a_1}x + {b_1}\) và \(y = {a_1}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\) Từ đó ta tìm giá trị của \(m.\)

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right).\) Từ đó tìm tọa độ giao điểm.

+) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng A qua Ox \( \Rightarrow NA = NA'\)

+) \(NA + NB = NA' + NB\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow N = A'B \cap Ox\). Tìm tọa độ điểm N.

2) a) Thay \(a = 1\) vào hệ phương trình, sau đó giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

b) Giải hệ phương trình, tìm nghiệm \(\left( {x;\;y} \right)\) theo \(a.\)

+) Dựa vào điều kiện của bài toán để tìm \(a.\)

Giải chi tiết

1) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = - \frac{1}{2}x + 2.\)

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( \Delta \right):\;y = \left( {m - 1} \right)x + 1\) song song với đường thẳng \(\left( d \right).\)

Đường thẳng \(\left( d \right)//\left( \Delta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = - \frac{1}{2}\\1 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(m = \frac{1}{2}.\)

b) Gọi \(A,\;B\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với parabol \(\left( P \right):\;\;y = \frac{1}{4}{x^2}.\) Tìm tọa độ điểm \(N\) nằm trên trục hoành sao cho \(NA + NB\) nhỏ nhất.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4}{x^2} = - \frac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\;\;\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {2;\;1} \right)\\x = - 4 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B\left( { - 4;\;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Khi đó \(A\left( {2;\;1} \right),\;\;B\left( { - 4;\;4} \right)\) là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox thì \(A'\left( {2; - 1} \right)\)

Khi đó ta có: \(NA = NA'\) nên \(NA + NB\,\,\min \Leftrightarrow NA' + NB\,\,\min \)

Mà A’, B nằm khác phía với trục Ox

Nên để NA’ + NB min thì A’, B, N thẳng hàng.

Từ đó suy ra điểm N cần tìm là giao điểm của đường thẳng A’B với trục hoành: \(N\left( {n;0} \right)\)

Gọi phương trình đường thẳng (d’) đi qua hai điểm A’, B là: \(y = ax + b\)

Do A’, B thuộc đường thẳng (d’) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 1\\ - 4a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{6}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Ta có phương trình đường thẳng (d’) là: \(y = - \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}\)

Khi đó điểm N thuộc đường thẳng d’ và \(N\left( {\frac{4}{5};0} \right)\)

Vậy khi \(N\left( {\frac{4}{5};0} \right)\) thì \({\left( {NA + NB} \right)_{\min }} = A'B = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {61} \).

a) Giải hệ phương trình (I) khi \(a = 1.\)

Thay \(a = 1\) vào hệ phương trình ta được:

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 4\\x = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 3 - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)

Vậy với \(a = 1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

b) Tìm \(a\) để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{2y}}{{{x^2} + 3}}\) là số nguyên.

+) Với \(a = 0\) ta có: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \) hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Với \(a \ne 0:\) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \frac{1}{{ - a}} \ne \frac{a}{1}\;\;\left( {a \ne 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow - {a^2} \ne 1\) (luôn đúng).

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(a.\)

Ta có: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\ - a\left( {3a - ay} \right) + y = 2 - {a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\ - 3{a^2} + {a^2}y + y = 2 - {a^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\y\left( {{a^2} + 1} \right) = 2 + 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\y = \frac{{2{a^2} + 2}}{{{a^2} + 1}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - 2a = a\\y = 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {a;\;2} \right).\)

Ta có: \(\frac{{2y}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{2.2}}{{{a^2} + 3}} = \frac{4}{{{a^2} + 3}}.\)

\(\frac{{2y}}{{{x^2} + 3}} \in Z \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2} + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 3} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\; \pm 2;\; \pm 4} \right\}.\)

Lại có: \({a^2} + 3 \ge 3\;\;\forall \;a \Rightarrow {a^2} + 3 = 4 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 1\end{array} \right..\)

Vậy \(a = \pm 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link