Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn

Câu hỏi số 267376:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\) ; \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^2} - 1}}{4}\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) .

A. \(\frac{e}{2}\)

B. \(\frac{{e - 1}}{2}\)

C. \(\frac{{{e^2}}}{4}\)

D. \(e - 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267376

Phương pháp giải

Chứng minh \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + kx{e^x}} \right]}^2}dx} = 0\)

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \left( {x + 1} \right){e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = x{e^x}\end{array} \right.\)

Khi đó \(\frac{{{e^2} - 1}}{4} = \left. {x.{e^x}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {x.{e^x}f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_0^1 {x.{e^x}f'\left( x \right)dx} = - \frac{{{e^2} - 1}}{4}\)

Xét

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + kx{e^x}} \right]}^2}dx} = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} + 2k\int\limits_0^1 {x.{e^x}f'\left( x \right)dx} + {k^2}\int\limits_0^1 {{x^2}{e^{2x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{e^2} - 1}}{4} - 2k\frac{{{e^2} - 1}}{4} + {k^2}\frac{{{e^2} - 1}}{4} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{{e^2} - 1}}{4}{\left( {k - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow k = 1\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) + x{e^x} = 0\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = - x{e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = - \int {x{e^x}dx} = - \int\limits_{}^{} {xd\left( {{e^x}} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \left( {x{e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx} + C} \right) = - x{e^x} + {e^x} + C\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) = - e + e + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) = - x{e^x} + {e^x} = {e^x}\left( {1 - x} \right)\end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right){e^x}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)d\left( {{e^x}} \right)} \\ = \left. {\left( {1 - x} \right){e^x}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = - 1 + e - 1 = e - 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.