Tìm số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1} \right|\) và \(\left( {z + 2} \right)\left(

Câu hỏi số 267389:

Thông hiểu

Tìm số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1} \right|\) và \(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z - i} \right)\) là số thực.

A. \(z = 2\).

B. z\( = - 2 + 2i\).

C. \(z = 2 - 2i\).

D. Không có z

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267389

Phương pháp giải

Đặt \(z = a + bi\).

Số phức z là số thực khi và chỉ khi Imz = 0.

Giải chi tiết

Giả sử \(z = a + bi.\) Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1} \right|\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {z - 3} \right|^2} = {\left| {z - 1} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {\left( {a + bi} \right) - 3} \right|^2} = {\left| {a + bi - 1} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {a + bi + 2} \right)\left( {\overline {a + bi} - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {\left( {a + bi} \right) - 3} \right|^2} = {\left| {a - 1 + bi} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {a + 2 + bi} \right)\left( {a - \left( {b + 1} \right)i} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {b^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {\left( {a + 2} \right)a + b\left( {b + 1} \right)} \right) - i\left( {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 1} \right) - ab} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 = {a^2} - 2{\rm{a}} + 1\\a + 2b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(z = a + bi = 2 - 2i.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.